Quarta-feira, Julho 16, 2008

Sociedade Portuguesa de Matemática - Exame do 12º Ano

No entanto, não nos parece que o exame tenha atingido ainda o objectivo de avaliar devidamente os conhecimentos matemáticos que os alunos devem ter à saída do Ensino Secundário. Algumas questões podem facilmente ser resolvidas por alunos de anos inferiores (Grupo I: questões 2 e 6; Grupo II: questão 5) e outras correspondem aos primeiros exemplos mais elementares de cada matéria. Este facto deveria, em nossa opinião, ser compensado com algumas questões de maior dificuldade. Por isso, não nos parece que o exame tenha o desejável equilíbrio de dificuldade.

Apesar de pensarmos que esta prova não é difícil, apresenta um grau de dificuldade francamente superior ao da prova da primeira fase. Isso torna-se claro por exemplo nas questões de probabilidades (2 e 3 do grupo II), tanto na interpretação como na complexidade das ferramentas matemáticas necessárias à resolução. Além disso, este exame foca conceitos bem mais abstractos e complexos, tais como a noção de limite segundo Heine, o cálculo de derivadas por definição e o triângulo de Pascal.

Leia o resto aqui.

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Espiral de Cornu

Espiral de Cornu

Os pequenos triângulos verdes assinalam os pontos onde o parâmetro s é inteiro (0, ± 1, ..., ± 6).
Esta curva é definida por uma propriedade geométrica: a sua curvatura é, em cada ponto, igual ao comprimento do arco (o parâmetro s) desde a origem. Quando o parâmetro cresce idefinidamente, a curva tende para o ponto de abcissa e ordenada 1/2. A curvatura muda de sinal (sentido) na origem: ponto de inflexão.
Aparece em numerosas aplicações de física, engenharia e arquitectura, cuja proximidade conceptual não é evidente à primeira.
Na engenharia civil, é usada no traçado das faixas de aceleração ou desaceleração das auto-estradas.
Na física (óptca), é usada no estudo das manchas de difracção.
É usada na propagação das ondas electromagnéticas para modelar o efeito difusor devido a um obstáculo transversal em lâmina (elipsóides de Fresnel).


Mais informações:
Wikipedia
Wolfram Mathworld
Georgia State University
Geocities

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Quarta-feira, Junho 25, 2008

Aristides Adão - Erro no exame de Matemática

Prova de Matemática 12º Ano, Portugal, 2008

Prova de Matemática 12º Ano, Portugal, 2008 - Resposta errada



…pior do que isso é o facto de o exame de Matemática do 12o ano, em que fui vigilante, na passada segunda feira, ter um erro numa questão de escolha múltipla, e oficialmente fazer-se de contas que não foi nada… é claro que os alunos escolhem uma solução, por exclusão de partes e “acertam”… porque os alunos estão “treinados” …estou a falar da representação gráfica da função derivada de uma outra função também representada graficamente ( uma semi-recta e um arco de parábola)… é que nenhuma das hipóteses apresentadas podia em rigor representar a derivada da função inicial… no ponto comum da semi-recta e da parábola o declive da parábola( em módulo) é visivelmente muito superior ao da recta( também em módulo), (duas ou três vezes, à vista desarmada) e nas representações apresentadas como soluções aparecem iguais… é certo que este não era o cerne do problema, mas então o rigor matemático exigia que se dissesse que apreciação devia ser feita do ponto de vista do domínio da função derivada… aliás se esta não fosse uma questão de escolha múltipla e fosse pedido ao aluno que fizesse um esboço do gráfico da função derivada da função dada, nenhum critério de correcção aceitaria como certo as que a prova tem como hipóteses de escolha … é um lapso compreensível, para um professor num teste da sua turma, porém inadmissível numa “equipa” que tem todo o tempo para elaborar, rever, rever, rever ……. mais um exemplo ilustrativo da diferença entre saber matemática ou saber resolver exames… muitos dos que “acertaram” nem deram por nada… e os que perceberam a gafe ultrapassaram-na pragmaticamnete, e os que não sabem , não sabem… e os responsáveis pela gafe assobiaram para o lado…


Aristides Adão em A Educação do meu Umbigo
no dia 24 de Junho de 2008




Prova de Matemática 12º Ano, Portugal, 2008 - Resposta errada

Várias são as questões levantadas pelo comentário de Aristides Adão.
A existência de derivada num ponto está condicionada a:
  1. existência do valor da função nesse ponto;
  2. existência da derivada lateral à esquerda;
  3. existência da derivada lateral à direita;
  4. igualdade das duas derivadas laterais.
Como falha a última condição, a função derivada não está definida nesse ponto tal como é correctamente assinalado na opção B.

Na análise gráfica das funções, os professores salientam sempre que:
  1. nos intervalos em que a função é crescente a derivada é positiva
  2. nos intervalos em que a função é decrescente a derivada é negativa
  3. nos pontos em que a derivada é nula, a função tem um extremo local
Porque podem ser estes factos considerados arbitrariamente como irrelevantes na aferição dos conhecimentos sobre interpretação gráfica das funções e suas derivadas por parte dos alunos é o que falta esclarecer. Ou, em alternativa, assumir simplesmente que houve um lapso de atenção. A correcção dos erros é um princípio aceite com generalidade pela ciência, embora nem sempre pelas autoridades administrativas. Se se pretender, porém, demonstrar que se trabalha para o conhecimento e não para os resultados dos exames, só há uma possiblidade: anular esta questão. (AF)




Detalhes técnicos: admitindo que o raio da circunferência auxiliar da primeira figura é unitário e que as intersecções com os eixos estão sobre os pontos da grelha auxiliar, teremos as seguintes equações:
f(x)x+1x<0
1x=0
3x²-4x+1x>0
f'(x)1x<0
Não definidox=0
6x-4x>0


A resposta errada apresentada pelo GAVE tem como equação:
f'(x)1x<0
Não definidox=0
x-1x>0







Resolução de alguns exercícios deste exame e mais apreciações podem ser encontradas no blog problemas|teoremas de Américo Tavares.

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Terça-feira, Maio 13, 2008

Isabel Guerreiro - Música e Matemática

Retirado de A Educação do meu Umbigo, com a devida vénia. (AF)
Musica e Matematica

A música, essa aliada esquecida da matemática


A pretexto de uma conferência com especialistas internacionais para debater o insucesso na disciplina de Matemática em Portugal, a Ministra da Educação veio chamar a atenção para o “passivo enorme” nesta área. Atribuídas (mais uma vez) as culpas aos professores, estando presentemente alguns milhares a receber formação contínua nesta matéria; lançado um Plano de Acção para a Matemática, aumentando a carga horária na disciplina, resta‐nos prever quais serão as recomendações que resultarão de mais esta conferência.

Porventura os sucessivos responsáveis pela pasta da educação em Portugal – eles próprios fruto de uma sociedade com fraquíssima cultura musical – não têm sido sensíveis ao papel fundamental que a música pode e deve ter na formação integral do indivíduo, não só ao nível da sensibilidade estética e do desenvolvimento emocional mas também ao nível da estruturação do pensamento lógico e do raciocínio matemático/geométrico, estimulando a concentração, disciplinando a actividade de grupo, favorecendo a comunicação, a cooperação e a entreajuda – tudo isto num clima de grande criatividade e franco prazer.

No entanto, desde Pitágoras – que para além de um contributo fundamental para a Matemática e a Geometria, também estabeleceu as bases da Teoria Musical – têm vindo a comprovar‐se as muito estreitas relações entre a Música e a Matemática.

Na verdade, vários estudos revelam que a maioria dos jovens que aprendem música, para além de serem alunos mais criativos em todas as áreas, também obtêm bons resultados em Matemática, sendo certo que, para alem de um papel muito positivo no ensino de crianças disléxicas e autistas, a Música é, de facto, aquela aliada que, como por encanto, leva qualquer criança a fazer a ponte entre o concreto e o abstracto, levando‐a a descobrir novas formas de comunicação e linguagem e ajudando‐a assim a apreender a lógica e a simbólica da Matemática.

A Educação Musical consta, de facto, do currículo da escola em Portugal desde 1971, ano da reforma de Veiga Simão que introduziu alterações significativas neste campo. No entanto, ao contrário do que sucede em muitos outros países, para lá de se iniciar já numa idade tardia, a Educação Musical tem estado confinada ao 2º Ciclo do ensino básico – no 3º Ciclo tem expressão muitíssimo limitada – e, a partir da última reforma curricular, a sua carga horária sofreu mesmo uma redução substancial de 45 m, passando a dispor apenas de 90 m semanais.

Foi feita alguma avaliação destas reformas?

Ainda a este propósito, é importante também referir que uma manifesta falta de instrumentos disponíveis nas salas de aula – e o facto de muitos dos que existem já estarem anificados – o que limita, muitas vezes, os professores a um ensino elementar da prática de flauta, impedindo, dessa forma, os alunos de adquirirem as “competências” (irrealistas) previstas para a disciplina pelo próprio Ministério da Educação.

A nível do 1º Ciclo, a recente introdução do ensino da Música, embora louvável, mais não fez do que pôr em prática um aspecto que, previsto no currículo, geralmente se não cumpria, sendo que os professores, recrutados em empresas privadas, trabalham em condições muito discutíveis.

Como se tudo isto não bastasse, mais recentemente ainda, sob a capa de uma alegada “Democratização do Ensino Artístico” o Governo decidiu acabar com o chamado regime de ensino supletivo, que permitia a frequência de disciplinas de formação especializada nos Conservatórios, a par das de formação geral numa escola à sua escolha.

Promovida pela Unesco, teve lugar em Lisboa, em 2006, a 1ª Conferência Mundial de Educação Artística, da qual resultaram orientações importantes no domínio da educação artística. A sua aplicabilidade foi debatida no ano seguinte na Conferência Nacional de Educação Artística. Que repercussões têm tido eventos como estes no ensino da Música em Portugal?

O Ministério da Educação insiste agora na avaliação dos professores mas não deveria ser o próprio Ministério a ser objecto de avaliação, entre outras coisas, pela sua manifesta desatenção relativamente ao ensino da Música?

Ainda vamos a tempo de investir numa formação musical de qualidade desde o jardim de infância, da qual a Matemática, bem como as outras áreas possam vir a beneficiar e de que possa resultar um maior equilíbrio emocional dos jovens.

Sigamos então as tão apregoadas “boas práticas”: sigamos o exemplo da Finlândia onde os pais podem mandar os filhos para escolas de música patrocinadas pelo estado desde tenra idade; sigamos o exemplo da própria Venezuela (retratado numa reportagem transmitida na televisão há dias), onde a fundação «El Sistema» recorre à música para reabilitar, ensinar e proteger crianças de meios desfavorecidos, prevenindo comportamentos criminosos...!

Leibniz (filósofo e matemático alemão) afirmou: Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi (A música é o exercício oculto de matemática do espírito que não se apercebe que calcula).

Os fracos resultados dos estudantes portugueses na disciplina de matemática estarão, seguramente, na proporção exacta do desprezo que tem sido dado ao ensino da Música na Escola Pública.

Isabel Guerreiro
Professora de Educação Musical do Ensino Público
Monte Estoril


Fonte: Opiniões - Isabel Guerreiro
publicado por A Educação do meu Umbigo em 12 de Maio de 2008

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Domingo, Março 30, 2008

Arnold e Rogness - A transformação bilinear e a esfera de Riemann

Tal como o afixo da raiz quadrada de menos um escapa à recta real e obrigou os matemáticos a considerar uma nova dimensão independente, generalizando o conceito de número, também o significado dos parâmetros da transformação bilinear só fica totalmente evidente se juntarmos uma nova dimensão ao plano de Argand. Neste vídeo, a transformação bilinear ou fraccionária é designada por transformação de Moebius. (AF)


This is amazing work by Douglas Arnold and Jonathan Rogness of the University of Minnesota.
— Edward Tufte




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