"; PlayWin.document.write(winContent); PlayWin.document.close(); // "Finalizes" new window // UniqueID = UniqueID + 1 // newWinOffset = newWinOffset + 20 // subsequent pop-ups will be this many pixels lower }

Sexta-feira, Fevereiro 20, 2009

Joseph Stiglitz - Ligações perigosas

A macro-economia vai atingindo a maturidade. A validade universal de alguns conceitos é contestada por novos modelos. Os acontecimentos recentes levaram um grupo de investigadores a empreender um estudo que completa os conhecimentos adquiridos até à data nesta área. (AF)


Procurámos caracterizar o comportamento de uma rede de créditos financeiros ao longo do tempo por meio de um sistema de processos estocásticos interdependentes, cada um dos quais satisfazendo as condições da sua própria robustez financeira. A ligação entre os processos advem de a robustez de cada agente financeiro estar dependente da robustez dos seus parceiros, tornando os nós da rede acoplados e, por arraste, a própria rede acoplada. Os elementos de acoplamento são a partilha do risco (associado a cada operação de crédito), a propagação dos incumprimentos das dívidas e das bancarrotas em cascata. Neste cenário, considerámos o impacto da quebra de um nó particular em diversas redes, com o grau de conectividade (interdependências) cada vez mais forte. Assumidas determinadas condições à partida, à redução do risco individual - tornando-o partilhado - correspondia um incremento do risco sistémico - com o alastramento dos incumprimentos. Quanto maior o número de nós adjacentes a que cada agente se interligava, menor o risco de colapso individual, mas maior o risco sistémico. Por outras palavras, no nosso estudo, a relação entre grau de interligação e risco sistémico não decresce indefinidamente, contrariamente ao que está previsto na literatura. A intervenção isolada do factor risco seria o de diluir até ao desaparecimento completo o risco para o sistema global, à medida que o número de interligações da rede aumentasse. Quando associada aos outros dois factores, ao que se acrescenta ainda a auto-alimentação - isto é, o facto de a rede acabar por repercurtir num nó individual financeiramente frágil os efeitos da sua própria fragilidade - o choque inicial sai muito reforçado e pode conduzir à crise sistémica completa, caso excedam o contrapeso do risco partilhado.


Resumo de Liasons Dangereuses: Increasing Connectivity, Risk
Sharing, and Systemic Risk

Stefano Battiston, Domenico Delli Gatti, Mauro Gallegati, Bruce Greenwald e Joseph E. Stiglitz
17 de Outubro de 2008

Etiquetas: , , , ,

Terça-feira, Setembro 23, 2008

Da dízima periódica à fracção

Algoritmo da divisão decimal



Desde a Matemática elementar é conhecido o facto de que a divisão termina quando aparece um resto zero. Nem sempre, porém, esse resto aparece, sem que antes se repita outro resto. Nesta altura encontramos uma dízima infinita e periódica. Todos conhecemos, portanto, o caminho que vai da fracção à dízima periódica.
E se, como ponto de partida, tivermos uma dízima periódica e quisermos conhecer a fracção correspondente? Quem estiver interessado, pode consultar o método neste excelente artigo que Américo Tavares publicou em problemas | teoremas.

Etiquetas: , ,

Quarta-feira, Setembro 17, 2008

Problemas | Teoremas

Américo TavaresCaro Américo Tavares

Aos meus ouvidos chegaram rumores de que o blog problemas | teoremas estaria em risco de terminar. Se ainda estiver a tempo de reverter essa perspectiva sombria, permita-me dizer das minhas razões porque considero importante que aconteça o contrário.

Vivemos numa fase de alguma confusão. Estou em crer que passageira. Pessoas válidas em todos os domínios resguardam-se da exposição pública, deixando o terreno livre. Imediatamente um poletão de incompetentes vem ao terreiro com uma algazarra inaudível, apresentar-se como os verdadeiros especialistas.

O blog a que deu vida afastou-se salutarmente da mediocridade estridente. Colocou corajosamente questões difíceis a todos nós. Confrontou-nos com as nossas próprias limitações. Em cada um dos artigos, deixou antever uma disciplina mental que só amadurece num tempo prolongado. Constitui um evento único no panorama da blogosfera portuguesa, que a enriquece singularmente. Era meu desejo que escritos com nível equiparável estivessem disseminados amplamente, também noutros domínios, com a convivialidade interactiva que os blogs proporcionam. O exemplo de problemas | teoremas pode expandir-se. Alguns distraidos, mas que partilham interesses em Matemática - todos sabemos a facilidade com que estas pessoas se distraem - poderão ainda vir a descobri-lo e a enriquecê-lo. É provável que o façam, se a janela temporal de actividade do blog for compatível com a ocorrência dos acontecimentos raros.
Os exemplos de esforço intelectual não se propagam ao ritmo dos exemplos de desleixo. Quisera eu que também tivessem a sua oportunidade.

Um grande abraço

Etiquetas: , ,

Segunda-feira, Julho 21, 2008

António Brotas - A Educação e os críticos

O Problema da Educação em Portugal não está só nos erros e insuficiências de quem governa mas, também, na quase absoluta falta de propostas (e muitas vezes ignorância) dos seus habituais e quase direi encartados críticos.

Tomemos o exemplo do crescimento anómalo este ano das notas de Matemática do Secundário em que o Ministério quis ver o resultado das medidas que recentemente tomou para melhorar o ensino da disciplina. Um senhor permitiu-se mesmo aparecer na Televisão a dizer que os pontos tinham sido elaborados segundo critérios científicos. Contra esta risível opinião a Doutora Filomena Mónica emitiu uma violentíssima critica largamente referida na Comunicação Social , em que afirmou que para melhorar o ensino da Matemática era necessário formar professores e melhorar o ambiente das escolas.

FM teve, certamente. razão no que disse, mas ignorou que temos actualmente (e sempre tivemos) muitos professores capazes de ensinar bem Matemática. O problema da melhoria do nosso ensino da Matemática não é, assim, um problema a resolver a prazo. É, fundamentalmente, o problema de sermos capazes de utilizar os nossos melhores professores (do Secundário e do Superior) para definirem os programas, elaborarem os pontos, reciclarem os maus professores e, naturalmente, formarem científica e pedagogicamente os professores do futuro.

Tivemos, no inicio dos anos 70, uma excepcional experiência em termos europeus de ensino da Matemática: a das turmas experimentais do 11º ano orientada pelo Professor Sebastião e Silva, que, infelizmente, morreu pouco depois e não pôde dar continuidade a este seu trabalho, que deveria ter influenciado todo o ensino português. Da experiência dos anos 70 ficou um Compêndio policopiado que, depois do 25 de Abril, o Gabinete de Estudos e Planeamento do Ministério editou em livro, em tiragens de 20.000 exemplares, conjuntamente com um Guia para os professores. Estes livros não se encontram hoje à venda em parte alguma.

O Ministério daria um imediato e grande contributo para o ensino da Matemática se reeditasse este Guia de autoria do Professor Sebastião e Silva e o fizesse distribuir a todos os professores do Secundário. Muito em particular, eles podem nele encontrar conselhos muito úteis e oportunos sobre o tipo de perguntas que se devem fazer nos exames. (13/07/08)


António Brotas
Antigo Director do GEP do Ministério da Educação e Professor Jubilado do IST

publicado por Moriae em A Sinistra Ministra
a 20 de Julho de 2008

Etiquetas: , ,

Quarta-feira, Julho 16, 2008

Sociedade Portuguesa de Matemática - Exame do 12º Ano

No entanto, não nos parece que o exame tenha atingido ainda o objectivo de avaliar devidamente os conhecimentos matemáticos que os alunos devem ter à saída do Ensino Secundário. Algumas questões podem facilmente ser resolvidas por alunos de anos inferiores (Grupo I: questões 2 e 6; Grupo II: questão 5) e outras correspondem aos primeiros exemplos mais elementares de cada matéria. Este facto deveria, em nossa opinião, ser compensado com algumas questões de maior dificuldade. Por isso, não nos parece que o exame tenha o desejável equilíbrio de dificuldade.

Apesar de pensarmos que esta prova não é difícil, apresenta um grau de dificuldade francamente superior ao da prova da primeira fase. Isso torna-se claro por exemplo nas questões de probabilidades (2 e 3 do grupo II), tanto na interpretação como na complexidade das ferramentas matemáticas necessárias à resolução. Além disso, este exame foca conceitos bem mais abstractos e complexos, tais como a noção de limite segundo Heine, o cálculo de derivadas por definição e o triângulo de Pascal.

Leia o resto aqui.

Etiquetas: , , ,

Espiral de Cornu

Espiral de Cornu

Os pequenos triângulos verdes assinalam os pontos onde o parâmetro s é inteiro (0, ± 1, ..., ± 6).
Esta curva é definida por uma propriedade geométrica: a sua curvatura é, em cada ponto, igual ao comprimento do arco (o parâmetro s) desde a origem. Quando o parâmetro cresce idefinidamente, a curva tende para o ponto de abcissa e ordenada 1/2. A curvatura muda de sinal (sentido) na origem: ponto de inflexão.
Aparece em numerosas aplicações de física, engenharia e arquitectura, cuja proximidade conceptual não é evidente à primeira.
Na engenharia civil, é usada no traçado das faixas de aceleração ou desaceleração das auto-estradas.
Na física (óptca), é usada no estudo das manchas de difracção.
É usada na propagação das ondas electromagnéticas para modelar o efeito difusor devido a um obstáculo transversal em lâmina (elipsóides de Fresnel).


Mais informações:
Wikipedia
Wolfram Mathworld
Georgia State University
Geocities

Etiquetas:

Quarta-feira, Junho 25, 2008

Aristides Adão - Erro no exame de Matemática

Prova de Matemática 12º Ano, Portugal, 2008

Prova de Matemática 12º Ano, Portugal, 2008 - Resposta errada



…pior do que isso é o facto de o exame de Matemática do 12o ano, em que fui vigilante, na passada segunda feira, ter um erro numa questão de escolha múltipla, e oficialmente fazer-se de contas que não foi nada… é claro que os alunos escolhem uma solução, por exclusão de partes e “acertam”… porque os alunos estão “treinados” …estou a falar da representação gráfica da função derivada de uma outra função também representada graficamente ( uma semi-recta e um arco de parábola)… é que nenhuma das hipóteses apresentadas podia em rigor representar a derivada da função inicial… no ponto comum da semi-recta e da parábola o declive da parábola( em módulo) é visivelmente muito superior ao da recta( também em módulo), (duas ou três vezes, à vista desarmada) e nas representações apresentadas como soluções aparecem iguais… é certo que este não era o cerne do problema, mas então o rigor matemático exigia que se dissesse que apreciação devia ser feita do ponto de vista do domínio da função derivada… aliás se esta não fosse uma questão de escolha múltipla e fosse pedido ao aluno que fizesse um esboço do gráfico da função derivada da função dada, nenhum critério de correcção aceitaria como certo as que a prova tem como hipóteses de escolha … é um lapso compreensível, para um professor num teste da sua turma, porém inadmissível numa “equipa” que tem todo o tempo para elaborar, rever, rever, rever ……. mais um exemplo ilustrativo da diferença entre saber matemática ou saber resolver exames… muitos dos que “acertaram” nem deram por nada… e os que perceberam a gafe ultrapassaram-na pragmaticamnete, e os que não sabem , não sabem… e os responsáveis pela gafe assobiaram para o lado…


Aristides Adão em A Educação do meu Umbigo
no dia 24 de Junho de 2008




Prova de Matemática 12º Ano, Portugal, 2008 - Resposta errada

Várias são as questões levantadas pelo comentário de Aristides Adão.
A existência de derivada num ponto está condicionada a:
  1. existência do valor da função nesse ponto;
  2. existência da derivada lateral à esquerda;
  3. existência da derivada lateral à direita;
  4. igualdade das duas derivadas laterais.
Como falha a última condição, a função derivada não está definida nesse ponto tal como é correctamente assinalado na opção B.

Na análise gráfica das funções, os professores salientam sempre que:
  1. nos intervalos em que a função é crescente a derivada é positiva
  2. nos intervalos em que a função é decrescente a derivada é negativa
  3. nos pontos em que a derivada é nula, a função tem um extremo local
Porque podem ser estes factos considerados arbitrariamente como irrelevantes na aferição dos conhecimentos sobre interpretação gráfica das funções e suas derivadas por parte dos alunos é o que falta esclarecer. Ou, em alternativa, assumir simplesmente que houve um lapso de atenção. A correcção dos erros é um princípio aceite com generalidade pela ciência, embora nem sempre pelas autoridades administrativas. Se se pretender, porém, demonstrar que se trabalha para o conhecimento e não para os resultados dos exames, só há uma possiblidade: anular esta questão. (AF)




Detalhes técnicos: admitindo que o raio da circunferência auxiliar da primeira figura é unitário e que as intersecções com os eixos estão sobre os pontos da grelha auxiliar, teremos as seguintes equações:
f(x)x+1x<0
1x=0
3x²-4x+1x>0
f'(x)1x<0
Não definidox=0
6x-4x>0


A resposta errada apresentada pelo GAVE tem como equação:
f'(x)1x<0
Não definidox=0
x-1x>0







Resolução de alguns exercícios deste exame e mais apreciações podem ser encontradas no blog problemas|teoremas de Américo Tavares.

Etiquetas: , ,

Terça-feira, Maio 13, 2008

Isabel Guerreiro - Música e Matemática

Retirado de A Educação do meu Umbigo, com a devida vénia. (AF)
Musica e Matematica

A música, essa aliada esquecida da matemática


A pretexto de uma conferência com especialistas internacionais para debater o insucesso na disciplina de Matemática em Portugal, a Ministra da Educação veio chamar a atenção para o “passivo enorme” nesta área. Atribuídas (mais uma vez) as culpas aos professores, estando presentemente alguns milhares a receber formação contínua nesta matéria; lançado um Plano de Acção para a Matemática, aumentando a carga horária na disciplina, resta‐nos prever quais serão as recomendações que resultarão de mais esta conferência.

Porventura os sucessivos responsáveis pela pasta da educação em Portugal – eles próprios fruto de uma sociedade com fraquíssima cultura musical – não têm sido sensíveis ao papel fundamental que a música pode e deve ter na formação integral do indivíduo, não só ao nível da sensibilidade estética e do desenvolvimento emocional mas também ao nível da estruturação do pensamento lógico e do raciocínio matemático/geométrico, estimulando a concentração, disciplinando a actividade de grupo, favorecendo a comunicação, a cooperação e a entreajuda – tudo isto num clima de grande criatividade e franco prazer.

No entanto, desde Pitágoras – que para além de um contributo fundamental para a Matemática e a Geometria, também estabeleceu as bases da Teoria Musical – têm vindo a comprovar‐se as muito estreitas relações entre a Música e a Matemática.

Na verdade, vários estudos revelam que a maioria dos jovens que aprendem música, para além de serem alunos mais criativos em todas as áreas, também obtêm bons resultados em Matemática, sendo certo que, para alem de um papel muito positivo no ensino de crianças disléxicas e autistas, a Música é, de facto, aquela aliada que, como por encanto, leva qualquer criança a fazer a ponte entre o concreto e o abstracto, levando‐a a descobrir novas formas de comunicação e linguagem e ajudando‐a assim a apreender a lógica e a simbólica da Matemática.

A Educação Musical consta, de facto, do currículo da escola em Portugal desde 1971, ano da reforma de Veiga Simão que introduziu alterações significativas neste campo. No entanto, ao contrário do que sucede em muitos outros países, para lá de se iniciar já numa idade tardia, a Educação Musical tem estado confinada ao 2º Ciclo do ensino básico – no 3º Ciclo tem expressão muitíssimo limitada – e, a partir da última reforma curricular, a sua carga horária sofreu mesmo uma redução substancial de 45 m, passando a dispor apenas de 90 m semanais.

Foi feita alguma avaliação destas reformas?

Ainda a este propósito, é importante também referir que uma manifesta falta de instrumentos disponíveis nas salas de aula – e o facto de muitos dos que existem já estarem anificados – o que limita, muitas vezes, os professores a um ensino elementar da prática de flauta, impedindo, dessa forma, os alunos de adquirirem as “competências” (irrealistas) previstas para a disciplina pelo próprio Ministério da Educação.

A nível do 1º Ciclo, a recente introdução do ensino da Música, embora louvável, mais não fez do que pôr em prática um aspecto que, previsto no currículo, geralmente se não cumpria, sendo que os professores, recrutados em empresas privadas, trabalham em condições muito discutíveis.

Como se tudo isto não bastasse, mais recentemente ainda, sob a capa de uma alegada “Democratização do Ensino Artístico” o Governo decidiu acabar com o chamado regime de ensino supletivo, que permitia a frequência de disciplinas de formação especializada nos Conservatórios, a par das de formação geral numa escola à sua escolha.

Promovida pela Unesco, teve lugar em Lisboa, em 2006, a 1ª Conferência Mundial de Educação Artística, da qual resultaram orientações importantes no domínio da educação artística. A sua aplicabilidade foi debatida no ano seguinte na Conferência Nacional de Educação Artística. Que repercussões têm tido eventos como estes no ensino da Música em Portugal?

O Ministério da Educação insiste agora na avaliação dos professores mas não deveria ser o próprio Ministério a ser objecto de avaliação, entre outras coisas, pela sua manifesta desatenção relativamente ao ensino da Música?

Ainda vamos a tempo de investir numa formação musical de qualidade desde o jardim de infância, da qual a Matemática, bem como as outras áreas possam vir a beneficiar e de que possa resultar um maior equilíbrio emocional dos jovens.

Sigamos então as tão apregoadas “boas práticas”: sigamos o exemplo da Finlândia onde os pais podem mandar os filhos para escolas de música patrocinadas pelo estado desde tenra idade; sigamos o exemplo da própria Venezuela (retratado numa reportagem transmitida na televisão há dias), onde a fundação «El Sistema» recorre à música para reabilitar, ensinar e proteger crianças de meios desfavorecidos, prevenindo comportamentos criminosos...!

Leibniz (filósofo e matemático alemão) afirmou: Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi (A música é o exercício oculto de matemática do espírito que não se apercebe que calcula).

Os fracos resultados dos estudantes portugueses na disciplina de matemática estarão, seguramente, na proporção exacta do desprezo que tem sido dado ao ensino da Música na Escola Pública.

Isabel Guerreiro
Professora de Educação Musical do Ensino Público
Monte Estoril


Fonte: Opiniões - Isabel Guerreiro
publicado por A Educação do meu Umbigo em 12 de Maio de 2008

Etiquetas: , ,

Domingo, Março 30, 2008

Arnold e Rogness - A transformação bilinear e a esfera de Riemann

Tal como o afixo da raiz quadrada de menos um escapa à recta real e obrigou os matemáticos a considerar uma nova dimensão independente, generalizando o conceito de número, também o significado dos parâmetros da transformação bilinear só fica totalmente evidente se juntarmos uma nova dimensão ao plano de Argand. Neste vídeo, a transformação bilinear ou fraccionária é designada por transformação de Moebius. (AF)


This is amazing work by Douglas Arnold and Jonathan Rogness of the University of Minnesota.
— Edward Tufte




Etiquetas: ,


hits: