Américo Tavares - A moeda contrafeita

Como instrumento de análise, a balança de braços iguais produz três resultados possíveis entre o que é colocado no prato da esquerda e no da direita:

1. Mais pesado que...
2. Menos pesado que...
3. Tão pesado como...

Claude Shannon diria o mesmo de outro modo:

A máxima informação disponível através de uma operação com uma balança de pratos iguais é log(3)/log(2)=1.58496 bits ou, de forma exacta, 1 unidade ternária.

Para se isolar um caso entre 27 equiprováveis precisamos obter uma informação equivalente a log(27)/log(2)=4.7548 bits ou 3 unidades ternárias. Claude Shannon apenas nos chama a atenção para o grau de incerteza que está inerente a qualquer problema, logo a quantidade de informação que é necessário adquirir por qualquer processo, usando qualquer instrumento de análise. Nada adianta sobre o método de resolução, nem sequer garante que ele exista ou que seja praticável. Assim, no problema da moeda contrafeita, se é fácil concluir que o número de operações excede o mínimo necessário - o limite de Shannon - fica totalmente em aberto saber-se como chegar lá.
Porém, Shannon diz-nos algo mais:

Para que a balança produza o máximo de informação, é necessário que a medida incida sobre casos equiprováveis.

A solução do problema apresentada por Luísa Novo, retirando conclusões úteis das duas condições de desiquilíbrio da balança e da condição de equilíbrio e dividindo em cada etapa a suspeita de modo equitativo entre os dois grupos usados nos pratos e um terceiro que ficava de fora, satisfaz as duas condições de Shannon, constituindo por isso uma solução optimizada (nas condições enunciadas, o número de operações com a balança ou pesagens para reduzir a incerteza inicial a zero obtem-se dividindo esta pela informação ganha em cada operação: 4.7548 bits/1.58496 bits=3).




Américo Tavares dá vida a um blog - Problemas e/ou Teoremas - dedicado à matemática. Introduziu um elemento de complexidade que me escapou: a moeda contrafeita poderia ser mais pesada que as genuinas em ouro. Logo, o grau de incerteza inicial viria aumentado em 1 bit ( 5.754887 em vez de 4.754887), sendo este bit suplementar devido ao facto de não possuirmos a informação sobre a desigualdade dos pesos ser por excesso ou por defeito. Como o poder resolvente da balança é o mesmo e excede este bit suplementar, teoricamente bastará mais uma operação para se isolar a moeda falsa. Mas, para que isso seja possível, é necessário que os grupos de moedas sobre os quais se opera distribuam entre si a suspeita de conterem a moeda falsa de forma aproximadamente equitativa. A solução é um exercício muito interessante de engenharia e pode ser consultada no blog do autor.

PS: Teoricamente, pode-se imaginar uma moeda contrafeita por deposição electrolítica de uma camada externa de ouro num núcleo de volfrâmio. Como este metal possui a mesma massa volúmica que o ouro, fica aberta uma terceira hipótese, a de que a moeda contrafeita tenha o mesmo peso que as genuinas. O problema, colocado nestes termos, deixa de poder ser resolvido com recurso a uma balança.

Adivinhar a carta

O Leitor não precisa treinar as artes de manipular as cartas durante horas e horas a fio. Este truque é uma aplicação da Teoria da Informação, não da prestigiditação, e está ao alcance de todos. Tem um grande valor pedagógico.

Em que consiste o truque?

Retiram-se de um baralho 27 cartas quaisquer. Dispõem-se na mesa em três colunas. Informa-se alguém, que denominaremos por céptico, de que se trata de adivinhar uma carta escolhida ao acaso e não declarada. Apenas é pedido que seja indicada três vezes a coluna em que a carta escolhida se encontra.

Modo de proceder

1. Para colocar as cartas na mesa, dispõe-se sempre linha a linha, nove linhas de três cartas cada, com as figuras viradas para cima (a descoberto).
   
2. Para se retirar as cartas da mesa, agrupam-se sempre coluna a coluna. Ao se retirar as cartas da mesa, voltam-se de face para baixo, mas não se baralha.
   
3. A coluna seleccionada de cada vez pelo céptico é recolhida entre as outras duas, isto é, não pode ser nem a primeira nem a última. Novamente no baralho, este é voltado de costas para cima e redistribuido sobre a mesa.
   
4. Procedendo sempre como anteriormente, ao fim de três identificações de colunas contendo a carta mistério, esta fica identificada.
5. Depois de se recolher, sempre do mesmo modo, as cartas da mesa após a terceira identificação de coluna, a carta-alvo passa a ocupar a décima quarta posição no baralho.

O que sucedeu?

A idéia central é organizar meticulosamente a informação, ao mesmo tempo de que se dá a idéia de que se empastela tudo de cada vez. O Leitor observará que, ao espalhar as cartas após a primeira resposta, as nove cartas que faziam parte da coluna seleccionada (suposta no meio, no exemplo da figura) passaram a estar uniformemente distribuidas pelas três novas colunas. Ao identificar a coluna segunda vez, o céptico restringe para três esse conjunto de nove cartas suspeitas. O método de recolha e redistribuição vai promovendo a centragem da carta escolhida, independentemente da sua posição original, até chegar exactamente à equidistância entre as cartas extremas, isto é, à décima quarta posição.

Os mais entusiastas fazem de conta que reconhecem a carta certa pelo tacto, mesmo estando a figura voltada para baixo. Há mil maneiras de ludibriar pessoas sugestionáveis.

Boa sorte.

NB: A exigência de colocar a coluna seleccionada entre as outras duas pode ser removida. Pode mesmo colocar-se à discrição do céptico qual é a coluna que ele quer que se remova de cada vez. Porém, se assim acontecer, é necessário fazer contas de cabeça: A coluna identificada em primeiro lugar passa a valer zero, 9 ou 18 conforme se trate da primeira, segunda ou terceira. A segunda coluna seleccionada passa a pesar zero, 3 ou 6 respectivamente. A terceira coluna seleccionada passa a valer zero, 1 ou dois. Somando os pesos, obtem-se a posição final da carta a menos de uma unidade (pois contamos a partir de um e não de zero). Reparar que, com o procedimento inicialmente descrito, as colunas seleccionadas, por serem sempre as do meio, valeram respectivamente 9, 3 e 1. Este exercício, como se disse atrás, não é de adivinhação, mas de determinação. Quem faz a determinação é o céptico. O falso adivinho apenas processa a informação prestada.

PS: O desafio de 21 de Abril, "Moeda contrafeita", continua sem resposta convincente. O desafio de hoje contém uma sugestão para aquele, pois também faz uso de testes tricotómicos (uma forma de rebeldia que cultivo nesta Era de Ditadura dos Algarismos Binários, ou bits para os amigos).