Archive for the ‘Matemática’ Category

António Brotas – A Educação e os críticos

Monday, July 21st, 2008
O Problema da Educação em Portugal não está só nos erros e insuficiências de quem governa mas, também, na quase absoluta falta de propostas (e muitas vezes ignorância) dos seus habituais e quase direi encartados críticos.

Tomemos o exemplo do crescimento anómalo este ano das notas de Matemática do Secundário em que o Ministério quis ver o resultado das medidas que recentemente tomou para melhorar o ensino da disciplina. Um senhor permitiu-se mesmo aparecer na Televisão a dizer que os pontos tinham sido elaborados segundo critérios científicos. Contra esta risível opinião a Doutora Filomena Mónica emitiu uma violentíssima critica largamente referida na Comunicação Social , em que afirmou que para melhorar o ensino da Matemática era necessário formar professores e melhorar o ambiente das escolas.

FM teve, certamente. razão no que disse, mas ignorou que temos actualmente (e sempre tivemos) muitos professores capazes de ensinar bem Matemática. O problema da melhoria do nosso ensino da Matemática não é, assim, um problema a resolver a prazo. É, fundamentalmente, o problema de sermos capazes de utilizar os nossos melhores professores (do Secundário e do Superior) para definirem os programas, elaborarem os pontos, reciclarem os maus professores e, naturalmente, formarem científica e pedagogicamente os professores do futuro.

Tivemos, no inicio dos anos 70, uma excepcional experiência em termos europeus de ensino da Matemática: a das turmas experimentais do 11º ano orientada pelo Professor Sebastião e Silva, que, infelizmente, morreu pouco depois e não pôde dar continuidade a este seu trabalho, que deveria ter influenciado todo o ensino português. Da experiência dos anos 70 ficou um Compêndio policopiado que, depois do 25 de Abril, o Gabinete de Estudos e Planeamento do Ministério editou em livro, em tiragens de 20.000 exemplares, conjuntamente com um Guia para os professores. Estes livros não se encontram hoje à venda em parte alguma.

O Ministério daria um imediato e grande contributo para o ensino da Matemática se reeditasse este Guia de autoria do Professor Sebastião e Silva e o fizesse distribuir a todos os professores do Secundário. Muito em particular, eles podem nele encontrar conselhos muito úteis e oportunos sobre o tipo de perguntas que se devem fazer nos exames. (13/07/08)

António Brotas
Antigo Director do GEP do Ministério da Educação e Professor Jubilado do IST

publicado por Moriae em
a 20 de Julho de 2008

Sociedade Portuguesa de Matemática – Exame do 12º Ano

Wednesday, July 16th, 2008
No entanto, não nos parece que o exame tenha atingido ainda o objectivo de avaliar devidamente os conhecimentos matemáticos que os alunos devem ter à saída do Ensino Secundário. Algumas questões podem facilmente ser resolvidas por alunos de anos inferiores (Grupo I: questões 2 e 6; Grupo II: questão 5) e outras correspondem aos primeiros exemplos mais elementares de cada matéria. Este facto deveria, em nossa opinião, ser compensado com algumas questões de maior dificuldade. Por isso, não nos parece que o exame tenha o desejável equilíbrio de dificuldade.

Apesar de pensarmos que esta prova não é difícil, apresenta um grau de dificuldade francamente superior ao da prova da primeira fase. Isso torna-se claro por exemplo nas questões de probabilidades (2 e 3 do grupo II), tanto na interpretação como na complexidade das ferramentas matemáticas necessárias à resolução. Além disso, este exame foca conceitos bem mais abstractos e complexos, tais como a noção de limite segundo Heine, o cálculo de derivadas por definição e o triângulo de Pascal.

Leia o resto .

Espiral de Cornu

Wednesday, July 16th, 2008

Geocities

Aristides Adão – Erro no exame de Matemática

Wednesday, June 25th, 2008
…pior do que isso é o facto de o exame de Matemática do 12o ano, em que fui vigilante, na passada segunda feira, ter um erro numa questão de escolha múltipla, e oficialmente fazer-se de contas que não foi nada… é claro que os alunos escolhem uma solução, por exclusão de partes e “acertam”… porque os alunos estão “treinados” …estou a falar da representação gráfica da função derivada de uma outra função também representada graficamente ( uma semi-recta e um arco de parábola)… é que nenhuma das hipóteses apresentadas podia em rigor representar a derivada da função inicial… no ponto comum da semi-recta e da parábola o declive da parábola( em módulo) é visivelmente muito superior ao da recta( também em módulo), (duas ou três vezes, à vista desarmada) e nas representações apresentadas como soluções aparecem iguais… é certo que este não era o cerne do problema, mas então o rigor matemático exigia que se dissesse que apreciação devia ser feita do ponto de vista do domínio da função derivada… aliás se esta não fosse uma questão de escolha múltipla e fosse pedido ao aluno que fizesse um esboço do gráfico da função derivada da função dada, nenhum critério de correcção aceitaria como certo as que a prova tem como hipóteses de escolha … é um lapso compreensível, para um professor num teste da sua turma, porém inadmissível numa “equipa” que tem todo o tempo para elaborar, rever, rever, rever ……. mais um exemplo ilustrativo da diferença entre saber matemática ou saber resolver exames… muitos dos que “acertaram” nem deram por nada… e os que perceberam a gafe ultrapassaram-na pragmaticamnete, e os que não sabem , não sabem… e os responsáveis pela gafe assobiaram para o lado…

Aristides Adão em
no dia 24 de Junho de 2008



Várias são as questões levantadas pelo comentário de Aristides Adão.
A existência de derivada num ponto está condicionada a:

  1. existência do valor da função nesse ponto;
  2. existência da derivada lateral à esquerda;
  3. existência da derivada lateral à direita;
  4. igualdade das duas derivadas laterais.

Como falha a última condição, a função derivada não está definida nesse ponto tal como é correctamente assinalado na opção B.

Na análise gráfica das funções, os professores salientam sempre que:

  1. nos intervalos em que a função é crescente a derivada é positiva
  2. nos intervalos em que a função é decrescente a derivada é negativa
  3. nos pontos em que a derivada é nula, a função tem um extremo local

Porque podem ser estes factos considerados arbitrariamente como irrelevantes na aferição dos conhecimentos sobre interpretação gráfica das funções e suas derivadas por parte dos alunos é o que falta esclarecer. Ou, em alternativa, assumir simplesmente que houve um lapso de atenção. A correcção dos erros é um princípio aceite com generalidade pela ciência, embora nem sempre pelas autoridades administrativas. Se se pretender, porém, demonstrar que se trabalha para o conhecimento e não para os resultados dos exames, só há uma possiblidade: anular esta questão. (AF)


Detalhes técnicos: admitindo que o raio da circunferência auxiliar da primeira figura é unitário e que as intersecções com os eixos estão sobre os pontos da grelha auxiliar, teremos as seguintes equações:

f(x) x+1 x<0
1 x=0
3x²-4x+1 x>0
f'(x) 1 x<0
Não definido x=0
6x-4 x>0

A resposta errada apresentada pelo GAVE tem como equação:

f'(x) 1 x<0
Não definido x=0
x-1 x>0


Resolução de alguns exercícios deste exame e mais apreciações podem ser encontradas no blog problemas|teoremas de Américo Tavares.

Isabel Guerreiro – Música e Matemática

Monday, May 12th, 2008

Retirado de

A música, essa aliada esquecida da matemática

A pretexto de uma conferência com especialistas internacionais para debater o insucesso na disciplina de Matemática em Portugal, a Ministra da Educação veio chamar a atenção para o “passivo enorme” nesta área. Atribuídas (mais uma vez) as culpas aos professores, estando presentemente alguns milhares a receber formação contínua nesta matéria; lançado um Plano de Acção para a Matemática, aumentando a carga horária na disciplina, resta‐nos prever quais serão as recomendações que resultarão de mais esta conferência.

Porventura os sucessivos responsáveis pela pasta da educação em Portugal – eles próprios fruto de uma sociedade com fraquíssima cultura musical – não têm sido sensíveis ao papel fundamental que a música pode e deve ter na formação integral do indivíduo, não só ao nível da sensibilidade estética e do desenvolvimento emocional mas também ao nível da estruturação do pensamento lógico e do raciocínio matemático/geométrico, estimulando a concentração, disciplinando a actividade de grupo, favorecendo a comunicação, a cooperação e a entreajuda – tudo isto num clima de grande criatividade e franco prazer.

No entanto, desde Pitágoras – que para além de um contributo fundamental para a Matemática e a Geometria, também estabeleceu as bases da Teoria Musical – têm vindo a comprovar‐se as muito estreitas relações entre a Música e a Matemática.

Na verdade, vários estudos revelam que a maioria dos jovens que aprendem música, para além de serem alunos mais criativos em todas as áreas, também obtêm bons resultados em Matemática, sendo certo que, para alem de um papel muito positivo no ensino de crianças disléxicas e autistas, a Música é, de facto, aquela aliada que, como por encanto, leva qualquer criança a fazer a ponte entre o concreto e o abstracto, levando‐a a descobrir novas formas de comunicação e linguagem e ajudando‐a assim a apreender a lógica e a simbólica da Matemática.

A Educação Musical consta, de facto, do currículo da escola em Portugal desde 1971, ano da reforma de Veiga Simão que introduziu alterações significativas neste campo. No entanto, ao contrário do que sucede em muitos outros países, para lá de se iniciar já numa idade tardia, a Educação Musical tem estado confinada ao 2º Ciclo do ensino básico – no 3º Ciclo tem expressão muitíssimo limitada – e, a partir da última reforma curricular, a sua carga horária sofreu mesmo uma redução substancial de 45 m, passando a dispor apenas de 90 m semanais.

Foi feita alguma avaliação destas reformas?

Ainda a este propósito, é importante também referir que uma manifesta falta de instrumentos disponíveis nas salas de aula – e o facto de muitos dos que existem já estarem anificados – o que limita, muitas vezes, os professores a um ensino elementar da prática de flauta, impedindo, dessa forma, os alunos de adquirirem as “competências” (irrealistas) previstas para a disciplina pelo próprio Ministério da Educação.

A nível do 1º Ciclo, a recente introdução do ensino da Música, embora louvável, mais não fez do que pôr em prática um aspecto que, previsto no currículo, geralmente se não cumpria, sendo que os professores, recrutados em empresas privadas, trabalham em condições muito discutíveis.

Como se tudo isto não bastasse, mais recentemente ainda, sob a capa de uma alegada “Democratização do Ensino Artístico” o Governo decidiu acabar com o chamado regime de ensino supletivo, que permitia a frequência de disciplinas de formação especializada nos Conservatórios, a par das de formação geral numa escola à sua escolha.

Promovida pela Unesco, teve lugar em Lisboa, em 2006, a 1ª Conferência Mundial de Educação Artística, da qual resultaram orientações importantes no domínio da educação artística. A sua aplicabilidade foi debatida no ano seguinte na Conferência Nacional de Educação Artística. Que repercussões têm tido eventos como estes no ensino da Música em Portugal?

O Ministério da Educação insiste agora na avaliação dos professores mas não deveria ser o próprio Ministério a ser objecto de avaliação, entre outras coisas, pela sua manifesta desatenção relativamente ao ensino da Música?

Ainda vamos a tempo de investir numa formação musical de qualidade desde o jardim de infância, da qual a Matemática, bem como as outras áreas possam vir a beneficiar e de que possa resultar um maior equilíbrio emocional dos jovens.

Sigamos então as tão apregoadas “boas práticas”: sigamos o exemplo da Finlândia onde os pais podem mandar os filhos para escolas de música patrocinadas pelo estado desde tenra idade; sigamos o exemplo da própria Venezuela (retratado numa reportagem transmitida na televisão há dias), onde a fundação «El Sistema» recorre à música para reabilitar, ensinar e proteger crianças de meios desfavorecidos, prevenindo comportamentos criminosos…!

Leibniz (filósofo e matemático alemão) afirmou: Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi (A música é o exercício oculto de matemática do espírito que não se apercebe que calcula).

Os fracos resultados dos estudantes portugueses na disciplina de matemática estarão, seguramente, na proporção exacta do desprezo que tem sido dado ao ensino da Música na Escola Pública.

Isabel Guerreiro
Professora de Educação Musical do Ensino Público
Monte Estoril

Fonte:
publicado por em 12 de Maio de 2008

Arnold e Rogness – A transformação bilinear e a esfera de Riemann

Sunday, March 30th, 2008
Tal como o afixo da raiz quadrada de menos um escapa à recta real e obrigou os matemáticos a considerar uma nova dimensão independente, generalizando o conceito de número, também o significado dos parâmetros da transformação bilinear só fica totalmente evidente se juntarmos uma nova dimensão ao plano de Argand. Neste vídeo, a transformação bilinear ou fraccionária é designada por transformação de Moebius. (AF)


This is amazing work by Douglas Arnold and Jonathan Rogness of the .
— Edward Tufte

Sam Dillon – Aptidões em matemática

Wednesday, November 21st, 2007

Amostra dos resultados relativos a Matemática (oitavo ano de escolaridade), obtidos em testes levados a cabo em 50 estados dos EUA e 45 estados fora dos EUA.

in

publicado por Logo New York Times


a 14 de Novembro de 2007

Tamar Lewin – Ensino de Matemática em questão

Friday, November 17th, 2006

Excertos de:
publicado na edição de 14 de Novembro de 2006 no .

Seatle – Pela segunda vez, no espaço de uma geração, os reponsáveis da Educação alteraram a forma de encarar o Ensino de Matemática nas escolas dos Estados Unidos da América. As últimas alterações estão a ser impulsionadas pelo reconhecimento da perda de desempenho dos estudantes em provas internacionais; e também pelos alertas feitos por matemáticos, segundos os quais mais de uma década da denominada Reforma do Ensino de Matemática – os críticos chamam-na Matemática esfarrapada (fuzzy) – estorpiou os estudantes, ao subvalorizar a importância da exercitação básica e da memória face aos méritos de descoberta autónoma da solução dos problemas pelos alunos.

Nesse mesmo período, a insatisfação dos pais com os resultados fez com que um número crescente de famílias pagasse explicações particulares aos seus filhos, ainda que muito jovens. Shalimar Backman, que, através das páginas do New York Times, pressionou o Governo ao formar um grupo de pais intitulado Onde está a Matemática, recorda o momento em que começou a ficar preocupada.

“Quando o meu filho mais velho, um aluno de nota máxima, estava na sexta classe, reparei que ele não fazia ideia, mínima que fosse, da divisão armada (long division)” – disse a Sra Backman – “e fui então à Escola falar com o professor que me respondeu que ‘não era preciso porque a divisão armada tolhia a sua criatividade'”.

A discussão sobre o que e como deve ser ensinado espalhou-se rapidamente a todo o país depois da publicação, em Setembro último, do relatório do Conselho Nacional dos Professores de Matemática.

Foi um outro relatório do mesmo conselho, redigido em 1989, que influenciou uma geração de professores a deixar os alunos explorar por si próprios a solução dos problemas, a fazer desenhos sobre a Matemática e a usar instrumentos como a máquina de calcular ao mesmo tempo que aprendiam algoritmos.

Mas desta vez o concelho mudou de rumo, e recomendou uma maior concentração de esforços no desenvolvimento das aptidões fundamentais e o termo do modelo abrangente e superficial (mile wide, inch deep) que havia arrastado muitas escolas a leccionar dúzias de tópicos de Matemática em cada ano escolar. Para a quarta classe, por exemplo, o relatório recomenda que que o programa se deva centrar numa “revisão rápida” da multiplicação e da divisão, no cálculo das áreas de figuras geométricas a duas dimensões, e na compreensão das decimais.

Grupos espontâneos (grass-roots) estão a emergir em muitas cidades, agitando a premência do regresso às competências fundamentais. Muitos apontam o comportamento da Califórnia como exemplo. Este Estado adoptou a Reforma do Ensino de Matemática no início dos anos 90, mas abandonou-o em grande parte no fim dessa década, uma reviravolta que conduziu a um sucesso dos resultados em Matemática.

O nível das preocupações expressas em Seatle pode não ser vulgar, mas há agora um desconforto enorme sobre a Matemática esfarrapada na Costa Este, no Mayne, em Massachussets, na Pensilvânea e até Nova Jersey começa a fazer barulho” disse R. James Milgram, um professor da Universidade de Stanford. “Há uma compreensão cada vez mais alargada de que o Ensino de Matemática nos Estados Unidos é um completo desastre”.

Um porta-voz do Departamento de Educação da cidade de Nova York afirmou que a Matemática do dia-a-dia exige aptidões tanto do Ensino tradicional como da Reforma, juntando conhecimentos de algoritmos fundamentais com formulações conceptuais. Anunciou que uma pesquisa recentemente efectuada pelo Departamento Federal da Educação detectou que o programa (de Nova York) era um dos poucos a nível Nacional onde havia provas dos efeitos positivos nos resultados alcançados pelos estudantes de Matemática.

O nervosismo deveu-se em parte à percepção de que, em tempos de globalização crescente, as aptidões em Matemática dos estudantes dos Estados Unidos, simplesmente, não crescem: alunos dos Estados Unidos do oitavo ano estão muito mais mal preparados que os de Singapura, Coreia do Sul, Hong Kong, Taiwan, Japão e alhures nas tendências dos Estudos de Matemática e Ciências, um teste internacional.

O descontentamento dos pais aqui no Estado de Washington intensificou-se após o anúncio em Setembro de que apenas 51% dos alunos do décimo ano passaram a parte de Matemática dos exames de avaliação oficiais, bem menos do que aquelas que mostraram competência na leitura e na escrita.

Distribuição normal

Monday, November 6th, 2006

“Protesto contra o uso de uma grandeza infinita como um dado adquirido, o que nunca é permitido em Matemática. Infinito é simplesmente uma figura de estilo, sendo o seu significado verdadeiro um limite.”

Karl Friedrich Gauss


A distribuição de Gauss pode ser vista como o limite de distribuições binomiais.
Entre todas as distribuições com a mesma variância, a distribuição normal é a que encerra a mínima informação; é mais corrente dizer-se, tem a máxima entropia. Se nada mais conhecermos de uma população infinita além da variância e da média de determinada medida, então o ajustamento da curva de Gauss é o menos mau dos procedimentos. Repare-se que isto exclui o conhecimento dos resultados de testes individuais, pois nesse caso, além de estarmos em condições de obter algumas estimativas estatísticas, estaríamos também na posse de uma quantidade de informação muito superior à que corresponde ao simples conhecimento de dois valores característicos da população no seu conjunto.
Ao enunciar as condições de consistência do pensamento, Edward Jaynes propõe (Probability Theory, the Logic of Science):
“…tomar sempre em consideração todos os factos relevantes para a questão. Não ignorar arbitrariamente uma parte da informação, fundamentando as conclusões naquilo que resta.”