Archive for the ‘Matemática’ Category

O quadrado redondo

Sunday, August 26th, 2012

O problema de dividir uma área quadrada em várias áreas de igual superfície, tem uma solução trivial que consiste em dividir os lados num número igual de partes inteiras, obtendo-se assim vários quadrados mais pequenos, num total que é igual ao quadrado do número de partes em que se dividiram os lados.

Obtém-se deste modo um, quatro, nove ou dezasseis quadrados mais pequenos, conforme se encontra ilustrado na figura.

Não é tão evidente a solução quando se trata de dividir uma área circular num número de partes que tenham superfícies idênticas.

Na figura em anexo encontra-se uma solução muito simples, que permite resolver o mesmo problema para o caso da área circular.

A figura não se encontra bem à escala, mas a ideia é que cada círculo tenha o diâmetro do anterior somado ao diâmetro do mais pequeno. Assim, os diâmetros serão respectivamente, um, dois, três e quatro unidades do mesmo modo que os lados dos quadrados anteriores eram um, dois, três e quatro.

Se assim for, então as áreas de cada um dos círculos serão, respectivamente,
A₁ = π x R² = π x (D/2)² = π x D² /4
A₂ = π x (2R)² = π x (2D/2²) = π x D² = 4 x A₁
A₃ = π x (3R)² = π x (3D/2)² = π x (9D²) /4 = 9 x A₁
A₄ = π x (4R)² = π x (4D/2)² = π x (2D)² = π x 4 D² = 16 x A₁

Como a primeira coroa circular se encontra dividida em três partes iguais, e o círculo que lhe corresponde possui uma área total que é igual a quatro círculos interiores, logo cada uma das três secções circulares tem área igual ao primeiro círculo.

Pelo mesmo raciocínio concluímos que o terceiro círculo se encontra dividido em 4 + 5 = 9 áreas idênticas, e o último círculo fica com 9 + 7 = 16 áreas idênticas.

Corrigi a descrição dos diâmetros, em 28Ago2012.

A Aritmética das Horas

Thursday, May 20th, 2010

A Teresa e o Rui combinaram encontrar-se na piscina às 10 horas.
A Teresa chegou três quartos de hora antes da hora marcada e o Rui atrasou-se um quarto de hora.
Quantos minutos chegou o Rui depois da Teresa?
Mostra como chegaste à tua resposta.

15
x3
45 m

10,00
-.45
09.55

Teresa chegou – 9:55 m
Rui chegou – 10:15 m

Resposta: Chegou 60 minutos mais tarde

E não é que acertou? !!!!

A Aritmética dos Múltiplos

Monday, March 22nd, 2010

A conversão das unidades de medida costuma ser apresentada como uma espécie de receita, com um relacionamento mais ou menos intuitivo, ou decorável entre as unidades e os seus múltiplos e submúltiplos.
Assim se perde mais uma belíssima ocasião para colocar em destaque o funcionamento das operações aritméticas, aplicadas à vida prática.
Para apresentar o funcionamento dos múltiplos, relacionando-os com as operações aritméticas, basta fazer a associação explícita entre os termos técnicos e os valores aritméticos correspondentes, como se indica a seguir para os termos mais utilizados:

Unidade = 1
Deca = 10
Hecto = 100
Kilo = 1000
Deci = 1/10
Centi = 1/100
Mili = 1/1000

Com base nesta tabela, a aritmética dos múltiplos e sub-múltiplos consiste simplesmente em substituir as designações pelos números que lhes correspondem, afectando os números que lhes estão associados pelas operações aritméticas indicadas.

A título de exemplo, vamos converter 27 centímetros em metros:
27 cm = 27 centi x metro = 27 x (1/100) m = 0,27 m

Vamos agora converter 350 litros em m3, sabendo que 1 litro = 1 dm3:
350 litro = 350 dm3 = 350 x [(1/10) x m]3 = 350/1000 m3 = 0,35 m3

Finalmente, vamos converter 1234 cm em decâmetros:
1234 cm = 1234 x (1/100) x 1m = 1234 x (1/100) x (10/10) m = 1234 x (1/100) x (1/10) x 10m = 1234/1000 x 1 dam = 1,234 dam

Vemos deste modo, que seguindo os procedimentos indicados pela tabela anexa, não é preciso decorar se as conversões deslocam a vírgula para a direita ou para a esquerda, nem qual o valor do deslocamento. Ao mesmo tempo, confere-se significado à metodologia que consiste em transformar uma tabela, em um procedimento sistemático.

A aritmética das unidades de medida

Sunday, March 21st, 2010

Este pequeno artigo não se destina aos Físicos; esses, sabem melhor do que ninguém o que são as unidades de medida e não precisam que ninguém lhes explique, pela simples razão de que a própria Física não existiria sem elas.
No que toca aos matemáticos, já não é tanto assim porque a Matemática não precisa das unidades de medida para viver, e por vezes, não direi os Matemáticos, mas os que vivem das matemáticas, por exemplo no ensino, não percebem que as unidades de medida não pertencem às Matemáticas, e podem sentir-se tentados a colmatar a sua própria insuficiência nas matemáticas para inclusivamente dar lições aos Físicos acerca da maneira mais correcta de representar as unidades físicas.

Na Matemática, as grandezas físicas surgem como um corolário para a aplicação dos conceitos abstractos à vida prática. Em vez de se afirmar que dois mais três é igual a cinco, torna-se mais concreto dizer que caminhar dois metros depois de caminhar três metros, é equivalente a percorrer um total de cinco metros.

E aqui surge a primeira regra prática para a construção da aritmética das unidades de medida: pode-se somar ou subtrair quaisquer números, desde que e apenas se esses números se encontrarem associados à mesma unidade de medida, ou então eles possam reduzir-se à mesma unidade de medida. E o resultado dessa operação, será um número que se representa na mesma unidade de medida dos operandos que lhe deram origem.

Tratando-se das operações de multiplicação e da divisão, nesse caso a regra prática é que as unidades de medida se encontram sujeitas às mesmas operações sobre os números.
Se por exemplo fizermos o produto de duas grandezas com a mesma unidade de medida, o resultado não será um número com essa unidade de medida, mas sim um número cuja unidade é o quadrado da unidade dos operandos. E esse resultado, encontra-se sujeito à existência, ou não, dessa unidade de medida que resultou desse produto. Se essa unidade de medida existe, então esse produto faz sentido; caso contrário, se essa unidade de medida não existe, então o resultado dessa operação não tem significado físico, isto embora possa adquirir algum sentido no campo estritamente matemático, por exemplo como um resultado intermédio para se obter o resultado final.

Poderemos concretizar melhor, multiplicando dois comprimentos: o resultado, será uma área, que se pode representar em metros quadrados (m2). Se eu multiplicar duas grandezas de tempo, obtenho um resultado que se pode representar em segundos quadrados (s2), que é uma unidade de medida que não existe em Física, portanto essa operação não tem significado físico. Ou, se quisermos dizer de outra maneira, esta operação não se pode fazer (para o caso dos segundos).

Ficamos assim a ver que as unidades de medida, não apenas se podem multiplicar (ou dividir), mas têm que se multiplicar do mesmo modo como se multiplicam os números que lhes estão associados, e isto não apenas para determinar qual é a unidade do resultado, mas também para saber se esse resultado pode representar alguma coisa de concreto, ou não.
Aliás, é assim que são construídas as chamadas unidades derivadas. Na realidade, na Física apenas existem quatro unidades de medida simples, ou fundamentais, que são o comprimento, a massa, o tempo e a temperatura. Todas as restantes unidades de medida são unidades derivadas, construídas à custa de multiplicações ou divisões entre as unidades simples e outras compostas.

Extracção da Raíz Cúbica

Thursday, February 18th, 2010

Apresento a seguir um método bastante prático para extrair a raiz cúbica de um número decimal.
Por razões de simplicidade, neste caso vou apresentar o quadro completo logo de início, e seguidamente passarei aos detalhes da execução.

O método consiste em construir um quadro a cinco colunas, como se apresenta acima.

No exemplo indicado pretende-se extrair a raíz cúbica do número 33077, com o resultado final representado por 32,1 x 32,1 x 32,1 + 0,839 = 33077,000.
Começamos então por traçar um quadro a cinco colunas, onde colocamos o número dado na quarta coluna, tendo o cuidado de colocar a parte decimal do mesmo, se houver na quinta coluna. Além disso, iremos agrupar os algarismos em grupos de três, a contar sempre a partir da vírgula decimal, tanto para a esquerda (parte inteira) como para a direita – parte decimal.
Completamos a preenchimento desta primeira linha com a referência y2, indicando que iremos calcular o quadrado de um número, utilizei y em vez de x para não confundir com o sinal de vezes que aparece noutros locais; a referência x3 significa que iremos multiplicar qualquer coisa por três, e o mesmo para x100.
Na segunda linha temos uma multiplicação por 30 somada com qualquer coisa, a seguir um certo produto, a seguir uma soma.
O cálculo começa com a obtenção do –> 3, resultado da extracção da raíz cúbica inteira de 33, e a colocação do correspondente 27 que é o maior cubo que cabe em 33. Colocamos o 3 no espaço indicado entre (parêntesis), indicando que a contrução deste campo irá evoluir até se alcançar o resultado final.

A parte que se segue é repetitiva, por isso separamos a obtenção de cada um dos restantes dígitos do resultado, com traços horizontais.
Em primeiro lugar fazemos a diferença de 27 para 33, obtendo o 6 que será completado com os três algarismos seguintes do número dado, indicado na primeira linha, cujo resultado é o 6077 que no fundo, é o resto que fica depois de elevar ao cubo o trinta que já tenho.
A primeira linha desta etapa consiste em calcular o 9, que é o quadrado do (3), seguindo-se o 27, que é o triplo do 9, e multiplicando este valor por 100, conforme indicado nas mesmas colunas da primeira linha.
Obtido o 2700, faz-se a divisão inteira do 6077 por 2700, produzindo o –> 2 que há-de ser o segundo algarismo da raíz cúbica, se tudo correr bem.
Este –> 2 é adicionado ao produto de 30 pelo três que já tenho no resultado, produzindo o 92.
O mesmo –> 2 multiplica pelo 92 da primeira coluna, produzindo o 184;
E este 184 á adicionado ao 2700 da terceira coluna, produzindo o 2884, conforme se encontra indicado na segunda linha para proceder.
Seguidamente multiplico o 2884 pelo mesmo –> 2, resultando o 5768 da quarta coluna que completa esta segunda etapa.
Como o resultado obtido é inferior ao 6077 que lhe fica acima, fica confirmado o –> 2 como segundo algarismo do resultado, o qual será inscrito a seguir ao (3) da segunda linha da quinta coluna.

Na terceira etapa segue-se o mesmo procedimento, fazendo a subtracção indicada na quarta coluna para obter o 309, que será completado por três zeros já que, no nosso caso, o número dado não tinha parte decimal.
Na primeira coluna calculo o quadrado do (32) que já tenho, obtendo o 1024, multiplico o mesmo por três, obtendo o 3072, e finalmente multiplico o mesmo por 100, tendo agora o cuidado de passar estes dois zeros para o lado direito do traço separador, uma vez que os zeros que se baixaram no 309 também se encontram à direita do respectivo traço.
A seguir faço a divisão inteira destes dois números, mas considerando-os como inteiros o que corresponde à –> 1 unidade que irá utilizar-se para construir a linha seguinte.
Multiplicando o (32) que já tenho por 30 e adicionando-lhe a –> 1 unidade, obtenho o 961.
Este 961 multiplicado por –> 1 corresponde ao 961 da segunda coluna, e será adicionado ao 307200 considerado como inteiro, produzindo o 3081,61 que figura na terceira coluna.
E este 3081,61 será multiplicado por 0,1 que é o significado decimal desta –> 1 unidade, para efeitos de proceder à subtracção final do número que lhe fica acima.

Confirmado este algarismo –> 1, posso acrescentá-lo ao (32) para produzir o resultado final, e obter o resto como 0,839 que é indicado na tabela.

A extracção da Raiz Quadrada

Wednesday, February 17th, 2010

A extracção da raiz quadrada foi um dos temas que foi contemplado com a invasão do ensino público pelo eduquês.
Não me conformando com a substituição da algoritmia pela máquina de calcular, apresento aqui uma representação deste algoritmo que se revela bastante simples e sistemática, embora algo diferente daquela que aprendi nos idos do meu tempo escolar, isto embora a lógica seja a mesma.

Interessou-me particularmente este exemplo numérico, para efeitos da exposição do cálculo.

Começo por considerar o desenvolvimento em três colunas, a saber:
Na primeira coluna figuram os cálculos auxiliares;
Na segunda coluna figuram as partes inteiras do número dado, e dos eventuais restos.
Na terceira coluna figuram as partes decimais dos anteriores, e também o valor final da raiz quadrada, este na segunda linha.
De duas em duas linhas, será traçada uma linha horizontal para separar o desenvolvimento de cada um dos dígitos do resultado obtido.

Começo então por colocar na segunda e terceira colunas, o número de que pretendo extrair a raiz quadrada, assim:

.. | 1.52|27.6
.. | … 1 |1

O número inicial é 152,276 portanto coloquei a parte inteira na segunda coluna, e a parte decimal na terceira.
Depois de colocar o número, distribui-se o separador . de modo a marcar o número de dois em dois dígitos, a contar a partir do separador decimal – a vírgula na nossa notação, a qual neste algoritmo é representada pelo segundo traço vertical.
Esta separação de dois em dois dígitos resulta do facto da centena ser o quadrado da dezena, e na realidade cada uma das etapas consiste em obter o dígito do resultado que corresponde a cada um dos pares de dígitos do valor dado.
O “1″ que coloquei na terceira coluna da segunda linha corresponde já à zaíz inteira do “1″ que foi separado do 152, e é já o primeiro dígito do resultado, que ficará colocado neste mesmo local.
E o “1″ que coloquei na segunda coluna da segunda linha corresponde ao quadrado perfeito do “1″ que ficou na terceira coluna.
Uma vez calculado o primeiro dígito do resultado, traçamos o primeiro separador horizontal e passamos à parte repetitiva do desenvolvimento.

…. | .. 1.52|27.6
…. | …… 1 |1
—————
20| .. 0 52|
22| ….. 44|

Começamos por subtrair os valores da segunda coluna, para obter o zero; a este acrescenta-se o 52 que é o segundo grupo de dois algarismos em que se dividiu o número inicial.
O 20 foi obtido fazendo o dobro do resultado parcial que figura actualmente na segunda linha da terceira coluna (=1) e acrescentando-lhe um zero.
O 22 que foi colocado abaixo do anterior resulta de substituir o zero do 20 por um outro inteiro, de tal modo que multiplicando este resultado pelo mesmo 2, há-de dar um produto que não seja superior ao 52.
E o 44 corresponde ao produto final do 22 pelo mesmo algarismo 2 que se substituiu no 20.
O algarismo a acrescentar ao 1 que figura no nosso resultado parcial, é portanto o 2 que converte o “1″ em “12″, completanto a segunda etapa do processo:

…. | .. 1.52|27.6
…. | …… 1 |1
—————
20| .. 0 52|
22| ….. 44|
—————
24|0 …. 08|27
24|3 …… 7|29

O 240 corresponde ao dobro de 12, que é o resultado parcial actual, acrescentando-lhe um zero.
O 827 vem da subtracção indicada acima, acrescentando-lhe os dois dígitos seguintes do número dado inicialmente, na primeira linha.
O 243 é aquele número que é adaptado do 240, de tal modo que, multiplicado pelo mesmo 3, não será superior ao 827.
E o 729 é o triplo do 243, que confirma o algarismo “3″ como terceiro dígito do resultado, a acrescentar ao “12″, depois de lhe colocar a vírgula decimal uma vez que o 27 que se baixou para o obter já figura na terceira coluna.

…. | .. 1.52|27.6
…. | …… 1 |1
—————
20| .. 0 52|
22| ….. 44|
—————
24|0 …. 08|27
24|3 …… 7|29
—————
24|60 …. 0|9860
24|64 …… |9856
—————
… | …….. 0|0004

Dispensando-me aqui de repetir a descrição desta última etapa, mostro apenas que o último resto, igual a 0,0004 significa que o quadrado de 12,34 corresponde a 4 décimas milésimas a menos do que 152,276, ou seja 12,34 x 12,34 + 0,0004 = 152,276.

A colocação dos algarismos entre a primeira e a segunda colunas, é feita de tal maneira que os algarismos trespassam o traço vertical, em correspondência com o que acontece nos restos que se distribuem entre a segunda e a terceira colunas. No caso deste exemplo, isso aconteceu a seguir à linha que contém o 22 e o 44.

A comparação pela operação inversa

Saturday, December 12th, 2009

Toda a gente sabe como se comparam dois números: coloca-se um ao lado do outro, e escolhe-se um dos sinais, “maior” > ou “menor” <, que se aplica entre os dois números para transmitir o sentido à comparação. O problema coloca-se, quando se pretende comparar valores, em vez de números. A diferença é que há certos valores que não são representados por números simples, mas sim por resultados de operações sobre dois ou mais números. Um exemplo simples é a comparação de números racionais, representados por fracções que são constituídas por um par de números inteiros. Neste caso, temos duas opções: Uma delas é completar as operações que são indicadas pelos valores que se querem comparar, e proceder à comparação final entre os números que foram calculados. Este é o procedimento mais corrente, mas não é o único, e apresenta o inconveniente de poder obrigar a fazer arredondamentos dum lado ou de outro, os quais podem até viciar o resultado final da comparação. Se apenas se pretende o resultado da comparação, e não interessa obter o valor de cada um dos comparandos, dispomos de uma opção mais interessante que é a comparação pela operação inversa. Chamei a esta opção por este nome, porque podemos considerar dois casos, que são a divisão e a subtracção, as quais se podem substituir pelas operações da multiplicação ou da soma, para efeitos de proceder à comparação final. Assim, se o que pretendo é comparar as fracções 4/3 e 7/5, por exemplo, em vez de fazer as divisões posso comparar os produtos 4×5 =20 e 7×3 =21. como 20 <21, logo se conclui que 4/3 será menor do que 7/5. O mesmo procedimento se pode aplicar aos resultados de uma subtracção. Utilizando os mesmos números, posso comparar 4 – 3 com 7 – 5 substituindo as subtracções indicadas pelas somas 4+5=9 e 7+3=10. Como 9 <10, logo 4 – 3 será menor do que 7 – 5. Em qualquer um dos casos, o raciocínio é o mesmo: coloca-se num dos lados, a contribuição positiva de um dos lados, seguida da contribuição negativa do outro lado; aplica-se aos termos a operação inversa, e comparam-se os resultados. O resultado dessa comparação, é aplicado à comparação final que se pretende. Nos exemplos acima, o 4 e o 7 contribuem positivamente para a comparação, ao passo que o 3 e o 5 contribuem negativamente para os resultados das comparações.

Joseph Stiglitz – Ligações perigosas

Friday, February 20th, 2009
A macro-economia vai atingindo a maturidade. A validade universal de alguns conceitos é contestada por novos modelos. Os acontecimentos recentes levaram um grupo de investigadores a empreender um estudo que completa os conhecimentos adquiridos até à data nesta área. (AF)



Procurámos caracterizar o comportamento de uma rede de créditos financeiros ao longo do tempo por meio de um sistema de
Stefano Battiston, Domenico Delli Gatti, Mauro Gallegati, Bruce Greenwald e Joseph E. Stiglitz
17 de Outubro de 2008

Da dízima periódica à fracção

Tuesday, September 23rd, 2008

que Américo Tavares publicou em .

Problemas | Teoremas

Wednesday, September 17th, 2008
estaria em risco de terminar. Se ainda estiver a tempo de reverter essa perspectiva sombria, permita-me dizer das minhas razões porque considero importante que aconteça o contrário.

Vivemos numa fase de alguma confusão. Estou em crer que passageira. Pessoas válidas em todos os domínios resguardam-se da exposição pública, deixando o terreno livre. Imediatamente um poletão de incompetentes vem ao terreiro com uma algazarra inaudível, apresentar-se como os verdadeiros especialistas.

O blog a que deu vida afastou-se salutarmente da mediocridade estridente. Colocou corajosamente questões difíceis a todos nós. Confrontou-nos com as nossas próprias limitações. Em cada um dos artigos, deixou antever uma disciplina mental que só amadurece num tempo prolongado. Constitui um evento único no panorama da blogosfera portuguesa, que a enriquece singularmente. Era meu desejo que escritos com nível equiparável estivessem disseminados amplamente, também noutros domínios, com a convivialidade interactiva que os blogs proporcionam. O exemplo de pode expandir-se. Alguns distraidos, mas que partilham interesses em Matemática – todos sabemos a facilidade com que estas pessoas se distraem – poderão ainda vir a descobri-lo e a enriquecê-lo. É provável que o façam, se a janela temporal de actividade do blog for compatível com a ocorrência dos acontecimentos raros.
Os exemplos de esforço intelectual não se propagam ao ritmo dos exemplos de desleixo. Quisera eu que também tivessem a sua oportunidade.

Um grande abraço