Archive for the ‘Algoritmos’ Category

O quadrado redondo

Sunday, August 26th, 2012

O problema de dividir uma área quadrada em várias áreas de igual superfície, tem uma solução trivial que consiste em dividir os lados num número igual de partes inteiras, obtendo-se assim vários quadrados mais pequenos, num total que é igual ao quadrado do número de partes em que se dividiram os lados.

Obtém-se deste modo um, quatro, nove ou dezasseis quadrados mais pequenos, conforme se encontra ilustrado na figura.

Não é tão evidente a solução quando se trata de dividir uma área circular num número de partes que tenham superfícies idênticas.

Na figura em anexo encontra-se uma solução muito simples, que permite resolver o mesmo problema para o caso da área circular.

A figura não se encontra bem à escala, mas a ideia é que cada círculo tenha o diâmetro do anterior somado ao diâmetro do mais pequeno. Assim, os diâmetros serão respectivamente, um, dois, três e quatro unidades do mesmo modo que os lados dos quadrados anteriores eram um, dois, três e quatro.

Se assim for, então as áreas de cada um dos círculos serão, respectivamente,
A₁ = π x R² = π x (D/2)² = π x D² /4
A₂ = π x (2R)² = π x (2D/2²) = π x D² = 4 x A₁
A₃ = π x (3R)² = π x (3D/2)² = π x (9D²) /4 = 9 x A₁
A₄ = π x (4R)² = π x (4D/2)² = π x (2D)² = π x 4 D² = 16 x A₁

Como a primeira coroa circular se encontra dividida em três partes iguais, e o círculo que lhe corresponde possui uma área total que é igual a quatro círculos interiores, logo cada uma das três secções circulares tem área igual ao primeiro círculo.

Pelo mesmo raciocínio concluímos que o terceiro círculo se encontra dividido em 4 + 5 = 9 áreas idênticas, e o último círculo fica com 9 + 7 = 16 áreas idênticas.

Corrigi a descrição dos diâmetros, em 28Ago2012.

Extracção da Raíz Cúbica

Thursday, February 18th, 2010

Apresento a seguir um método bastante prático para extrair a raiz cúbica de um número decimal.
Por razões de simplicidade, neste caso vou apresentar o quadro completo logo de início, e seguidamente passarei aos detalhes da execução.

O método consiste em construir um quadro a cinco colunas, como se apresenta acima.

No exemplo indicado pretende-se extrair a raíz cúbica do número 33077, com o resultado final representado por 32,1 x 32,1 x 32,1 + 0,839 = 33077,000.
Começamos então por traçar um quadro a cinco colunas, onde colocamos o número dado na quarta coluna, tendo o cuidado de colocar a parte decimal do mesmo, se houver na quinta coluna. Além disso, iremos agrupar os algarismos em grupos de três, a contar sempre a partir da vírgula decimal, tanto para a esquerda (parte inteira) como para a direita – parte decimal.
Completamos a preenchimento desta primeira linha com a referência y2, indicando que iremos calcular o quadrado de um número, utilizei y em vez de x para não confundir com o sinal de vezes que aparece noutros locais; a referência x3 significa que iremos multiplicar qualquer coisa por três, e o mesmo para x100.
Na segunda linha temos uma multiplicação por 30 somada com qualquer coisa, a seguir um certo produto, a seguir uma soma.
O cálculo começa com a obtenção do –> 3, resultado da extracção da raíz cúbica inteira de 33, e a colocação do correspondente 27 que é o maior cubo que cabe em 33. Colocamos o 3 no espaço indicado entre (parêntesis), indicando que a contrução deste campo irá evoluir até se alcançar o resultado final.

A parte que se segue é repetitiva, por isso separamos a obtenção de cada um dos restantes dígitos do resultado, com traços horizontais.
Em primeiro lugar fazemos a diferença de 27 para 33, obtendo o 6 que será completado com os três algarismos seguintes do número dado, indicado na primeira linha, cujo resultado é o 6077 que no fundo, é o resto que fica depois de elevar ao cubo o trinta que já tenho.
A primeira linha desta etapa consiste em calcular o 9, que é o quadrado do (3), seguindo-se o 27, que é o triplo do 9, e multiplicando este valor por 100, conforme indicado nas mesmas colunas da primeira linha.
Obtido o 2700, faz-se a divisão inteira do 6077 por 2700, produzindo o –> 2 que há-de ser o segundo algarismo da raíz cúbica, se tudo correr bem.
Este –> 2 é adicionado ao produto de 30 pelo três que já tenho no resultado, produzindo o 92.
O mesmo –> 2 multiplica pelo 92 da primeira coluna, produzindo o 184;
E este 184 á adicionado ao 2700 da terceira coluna, produzindo o 2884, conforme se encontra indicado na segunda linha para proceder.
Seguidamente multiplico o 2884 pelo mesmo –> 2, resultando o 5768 da quarta coluna que completa esta segunda etapa.
Como o resultado obtido é inferior ao 6077 que lhe fica acima, fica confirmado o –> 2 como segundo algarismo do resultado, o qual será inscrito a seguir ao (3) da segunda linha da quinta coluna.

Na terceira etapa segue-se o mesmo procedimento, fazendo a subtracção indicada na quarta coluna para obter o 309, que será completado por três zeros já que, no nosso caso, o número dado não tinha parte decimal.
Na primeira coluna calculo o quadrado do (32) que já tenho, obtendo o 1024, multiplico o mesmo por três, obtendo o 3072, e finalmente multiplico o mesmo por 100, tendo agora o cuidado de passar estes dois zeros para o lado direito do traço separador, uma vez que os zeros que se baixaram no 309 também se encontram à direita do respectivo traço.
A seguir faço a divisão inteira destes dois números, mas considerando-os como inteiros o que corresponde à –> 1 unidade que irá utilizar-se para construir a linha seguinte.
Multiplicando o (32) que já tenho por 30 e adicionando-lhe a –> 1 unidade, obtenho o 961.
Este 961 multiplicado por –> 1 corresponde ao 961 da segunda coluna, e será adicionado ao 307200 considerado como inteiro, produzindo o 3081,61 que figura na terceira coluna.
E este 3081,61 será multiplicado por 0,1 que é o significado decimal desta –> 1 unidade, para efeitos de proceder à subtracção final do número que lhe fica acima.

Confirmado este algarismo –> 1, posso acrescentá-lo ao (32) para produzir o resultado final, e obter o resto como 0,839 que é indicado na tabela.

A extracção da Raiz Quadrada

Wednesday, February 17th, 2010

A extracção da raiz quadrada foi um dos temas que foi contemplado com a invasão do ensino público pelo eduquês.
Não me conformando com a substituição da algoritmia pela máquina de calcular, apresento aqui uma representação deste algoritmo que se revela bastante simples e sistemática, embora algo diferente daquela que aprendi nos idos do meu tempo escolar, isto embora a lógica seja a mesma.

Interessou-me particularmente este exemplo numérico, para efeitos da exposição do cálculo.

Começo por considerar o desenvolvimento em três colunas, a saber:
Na primeira coluna figuram os cálculos auxiliares;
Na segunda coluna figuram as partes inteiras do número dado, e dos eventuais restos.
Na terceira coluna figuram as partes decimais dos anteriores, e também o valor final da raiz quadrada, este na segunda linha.
De duas em duas linhas, será traçada uma linha horizontal para separar o desenvolvimento de cada um dos dígitos do resultado obtido.

Começo então por colocar na segunda e terceira colunas, o número de que pretendo extrair a raiz quadrada, assim:

.. | 1.52|27.6
.. | … 1 |1

O número inicial é 152,276 portanto coloquei a parte inteira na segunda coluna, e a parte decimal na terceira.
Depois de colocar o número, distribui-se o separador . de modo a marcar o número de dois em dois dígitos, a contar a partir do separador decimal – a vírgula na nossa notação, a qual neste algoritmo é representada pelo segundo traço vertical.
Esta separação de dois em dois dígitos resulta do facto da centena ser o quadrado da dezena, e na realidade cada uma das etapas consiste em obter o dígito do resultado que corresponde a cada um dos pares de dígitos do valor dado.
O “1” que coloquei na terceira coluna da segunda linha corresponde já à zaíz inteira do “1” que foi separado do 152, e é já o primeiro dígito do resultado, que ficará colocado neste mesmo local.
E o “1” que coloquei na segunda coluna da segunda linha corresponde ao quadrado perfeito do “1” que ficou na terceira coluna.
Uma vez calculado o primeiro dígito do resultado, traçamos o primeiro separador horizontal e passamos à parte repetitiva do desenvolvimento.

…. | .. 1.52|27.6
…. | …… 1 |1
—————
20| .. 0 52|
22| ….. 44|

Começamos por subtrair os valores da segunda coluna, para obter o zero; a este acrescenta-se o 52 que é o segundo grupo de dois algarismos em que se dividiu o número inicial.
O 20 foi obtido fazendo o dobro do resultado parcial que figura actualmente na segunda linha da terceira coluna (=1) e acrescentando-lhe um zero.
O 22 que foi colocado abaixo do anterior resulta de substituir o zero do 20 por um outro inteiro, de tal modo que multiplicando este resultado pelo mesmo 2, há-de dar um produto que não seja superior ao 52.
E o 44 corresponde ao produto final do 22 pelo mesmo algarismo 2 que se substituiu no 20.
O algarismo a acrescentar ao 1 que figura no nosso resultado parcial, é portanto o 2 que converte o “1” em “12”, completanto a segunda etapa do processo:

…. | .. 1.52|27.6
…. | …… 1 |1
—————
20| .. 0 52|
22| ….. 44|
—————
24|0 …. 08|27
24|3 …… 7|29

O 240 corresponde ao dobro de 12, que é o resultado parcial actual, acrescentando-lhe um zero.
O 827 vem da subtracção indicada acima, acrescentando-lhe os dois dígitos seguintes do número dado inicialmente, na primeira linha.
O 243 é aquele número que é adaptado do 240, de tal modo que, multiplicado pelo mesmo 3, não será superior ao 827.
E o 729 é o triplo do 243, que confirma o algarismo “3” como terceiro dígito do resultado, a acrescentar ao “12”, depois de lhe colocar a vírgula decimal uma vez que o 27 que se baixou para o obter já figura na terceira coluna.

…. | .. 1.52|27.6
…. | …… 1 |1
—————
20| .. 0 52|
22| ….. 44|
—————
24|0 …. 08|27
24|3 …… 7|29
—————
24|60 …. 0|9860
24|64 …… |9856
—————
… | …….. 0|0004

Dispensando-me aqui de repetir a descrição desta última etapa, mostro apenas que o último resto, igual a 0,0004 significa que o quadrado de 12,34 corresponde a 4 décimas milésimas a menos do que 152,276, ou seja 12,34 x 12,34 + 0,0004 = 152,276.

A colocação dos algarismos entre a primeira e a segunda colunas, é feita de tal maneira que os algarismos trespassam o traço vertical, em correspondência com o que acontece nos restos que se distribuem entre a segunda e a terceira colunas. No caso deste exemplo, isso aconteceu a seguir à linha que contém o 22 e o 44.