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O quadrado redondo

Sunday, August 26th, 2012

O problema de dividir uma área quadrada em várias áreas de igual superfície, tem uma solução trivial que consiste em dividir os lados num número igual de partes inteiras, obtendo-se assim vários quadrados mais pequenos, num total que é igual ao quadrado do número de partes em que se dividiram os lados.

Obtém-se deste modo um, quatro, nove ou dezasseis quadrados mais pequenos, conforme se encontra ilustrado na figura.

Não é tão evidente a solução quando se trata de dividir uma área circular num número de partes que tenham superfícies idênticas.

Na figura em anexo encontra-se uma solução muito simples, que permite resolver o mesmo problema para o caso da área circular.

A figura não se encontra bem à escala, mas a ideia é que cada círculo tenha o diâmetro do anterior somado ao diâmetro do mais pequeno. Assim, os diâmetros serão respectivamente, um, dois, três e quatro unidades do mesmo modo que os lados dos quadrados anteriores eram um, dois, três e quatro.

Se assim for, então as áreas de cada um dos círculos serão, respectivamente,
A₁ = π x R² = π x (D/2)² = π x D² /4
A₂ = π x (2R)² = π x (2D/2²) = π x D² = 4 x A₁
A₃ = π x (3R)² = π x (3D/2)² = π x (9D²) /4 = 9 x A₁
A₄ = π x (4R)² = π x (4D/2)² = π x (2D)² = π x 4 D² = 16 x A₁

Como a primeira coroa circular se encontra dividida em três partes iguais, e o círculo que lhe corresponde possui uma área total que é igual a quatro círculos interiores, logo cada uma das três secções circulares tem área igual ao primeiro círculo.

Pelo mesmo raciocínio concluímos que o terceiro círculo se encontra dividido em 4 + 5 = 9 áreas idênticas, e o último círculo fica com 9 + 7 = 16 áreas idênticas.

Corrigi a descrição dos diâmetros, em 28Ago2012.