A comparação pela operação inversa

Toda a gente sabe como se comparam dois números: coloca-se um ao lado do outro, e escolhe-se um dos sinais, “maior” > ou “menor” <, que se aplica entre os dois números para transmitir o sentido à comparação.

O problema coloca-se, quando se pretende comparar valores, em vez de números. A diferença é que há certos valores que não são representados por números simples, mas sim por resultados de operações sobre dois ou mais números. Um exemplo simples é a comparação de números racionais, representados por fracções que são constituídas por um par de números inteiros.

Neste caso, temos duas opções:

Uma delas é completar as operações que são indicadas pelos valores que se querem comparar, e proceder à comparação final entre os números que foram calculados. Este é o procedimento mais corrente, mas não é o único, e apresenta o inconveniente de poder obrigar a fazer arredondamentos dum lado ou de outro, os quais podem até viciar o resultado final da comparação.

Se apenas se pretende o resultado da comparação, e não interessa obter o valor de cada um dos comparandos, dispomos de uma opção mais interessante que é a comparação pela operação inversa.

Chamei a esta opção por este nome, porque podemos considerar dois casos, que são a divisão e a subtracção, as quais se podem substituir pelas operações da multiplicação ou da soma, para efeitos de proceder à comparação final.

Assim, se o que pretendo é comparar as fracções 4/3 e 7/5, por exemplo, em vez de fazer as divisões posso comparar os produtos 4x5 =20 e 7x3 =21. como 20 <21, logo se conclui que 4/3 será menor do que 7/5.

O mesmo procedimento se pode aplicar aos resultados de uma subtracção. Utilizando os mesmos números, posso comparar 4 – 3 com 7 – 5 substituindo as subtracções indicadas pelas somas 4+5=9 e 7+3=10. Como 9 <10, logo 4 – 3 será menor do que 7 – 5.

Em qualquer um dos casos, o raciocínio é o mesmo: coloca-se num dos lados, a contribuição positiva de um dos lados, seguida da contribuição negativa do outro lado; aplica-se aos termos a operação inversa, e comparam-se os resultados. O resultado dessa comparação, é aplicado à comparação final que se pretende.

Nos exemplos acima, o 4 e o 7 contribuem positivamente para a comparação, ao passo que o 3 e o 5 contribuem negativamente para os resultados das comparações.