Segunda-feira, Abril 21, 2008

A moeda contrafeita

Balança


Imagine o leitor que está perante um conjunto de 27 moedas de ouro e uma balança mecânica de braços iguais. Dispõe apenas deste material.
É-lhe dito:
- Há uma moeda falsa.
Moedas

- Que número mínimo de operações com a balança será necessário efectuar para se determinar com certeza qual é a moeda falsa?

Etiquetas: ,

9 Comentários:

At 22:34, Blogger José Ferrão disse...

Acho que a pergunta certa, seria qual o número máximo, porque na primeira pesagem, com 13x13, pode surgir logo a moeda falsa.
O resto, fica para os vindouros.

 
At 13:32, Blogger José Ferrão disse...

Penso que se pode partir do princípio de que a moeda falsa é mais leve do que as outras.
Só para dar uma ideia, o chumbo tem densidade 11, o mercúrio 13 e o ouro 19.
Haverá algum material mais barato e mais pesado do que o ouro?

 
At 22:01, Blogger António Chaves Ferrão disse...

Há poucos metais com massa específica superior ao ouro. Duvido, de qualquer maneira, que algum deles seja muito apetecível para um falsificador de moedas, comparado com as muitas alternativas menos "densas". Este preconceito esteve entre as suposições do exercício proposto.

 
At 13:45, Blogger José Ferrão disse...

Então nesse caso, se na pesagem refrida acima houver equilíbrio dos pratos, a moeda falsa é aquela que ficou de fora;
caso contrário, o problema reduz-se das 27 iniciais às 13 que ficaram no prato mais leve.
Acho que o problema teria mais interesse, ou melhor desafio, se fosse eliminada a suposição da moeda falsa ser mais leve do que as outras.

 
At 13:46, Blogger José Ferrão disse...

Esta mensagem foi removida pelo autor.

 
At 23:47, Blogger Luisa Novo disse...

3 pesagens no mínimo.

1ª em conjuntos de nove moedas em cada prato
2ª em conjuntos de 3 em cada prato
3ª uma em cada prato

Sempre que a balança equilibre com 2 conjuntos, a moeda falsa estará 3º conjunto no grupo que ficou de fora. Cada vez que a balança desequilibrar a moeda estará no prato com menos peso.

 
At 10:19, Blogger Américo Tavares disse...

Se se "partir do princípio de que a moeda falsa é mais leve do que as outras", a resposta anterior está perfeita.
E também estaria, com a devida adaptação, se a moeda falsa fosse mais pesada.
Ou seja, em 3 pesagens, como as indicadas, isola-se a moeda falsa.

 
At 19:20, Blogger Américo Tavares disse...

Passo a expor um método para conseguir determinar a moeda falsa do conjunto das 27, sem se saber se ela é mais ou menos pesada do que as restantes.

Para facilidade de exposição designo o conjunto das moedas por

M={m_1,m_2,...,m_{27}}.

Divido este conjunto em três outros, com nove moedas cada, M_I,M_{II},M_{III}, respectivamente

M_I={m_1,m_2,..,m_{9}}

M_{II}={m_{10},m_{11},...,m_{18}}

M_{III}={m_{19},m_{20},...,m_{27}}.

A seguir faço as seguintes pesagens:

Passo 1 - coloco num dos pratos da balança as moedas do conjunto M_I e no outro as do M_{II}. Se a balança ficar em equilíbrio, a moeda falsa pertence ao conjunto M_{III} e prossigo para o passo 5. Se não, prossigo para o passo 2.
Passo 2 - substituo as moedas do prato mais elevado pelas de M_{III} e vejo se o pratos se equilibram, o que indicaria que uma das moedas do prato que estava mais elevado era mais leve. Se não houver equilíbrio da balança, vejo qual dos pratos pesa menos: se for o das moedas M_{III}, é porque uma das moedas do outro prato é mais pesada; caso contrário, uma das moedas do outro prato é mais leve.
Passo 3 - das nove moedas que têm peso diferente, escolho seis e coloco três em cada prato. Se a balança ficar equilibrada é porque uma das três restantes é falsa. Se não, a moeda falsa é a do prato mais leve ou mais pesado, conforme se tenha visto no passo 2 que a moeda falsa é mais leve ou mais pesada.
Passo 4 - coloco uma do grupo das falsas em cada prato: se a balança ficar equilibrada a falsa é a que ficou de fora. Caso contário, é a do prato mais leve ou mais pesado, conforme se tenha visto no passo 2 que a moeda falsa é mais leve ou mais pesada. FIM.
Passo 5 - das nove moedas de M_{III}, escolho seis e coloco três em cada prato. Se a balança ficar equilibrada é porque uma das três restantes é falsa. FIM. Se não, prossigo para o passo 8.
Passo 6 - coloco uma do grupo das falsas em cada prato: se a balança ficar equilibrada a falsa é a que ficou de fora. FIM. Se não houver equilíbrio da balança, vejo qual dos pratos pesa menos.
Passo 7 - comparo a moeda do prato que pesa menos com a moeda que focou de fora: a que pesava menos é falsa se continuar a pesar menos, caso contário é que está no prato que pesa mais. FIM.
Passo 8 - transfiro duas moedas do prato mais leve para o mais pesado e uma do mais pesado para o mais leve, ficando duas moedas em cada prato. Podem acontecer três situações:
a balança ficar desequilibrada para o mesmo lado -- a moeda falsa é a que não foi mexida; FIM.
a balança continuar desequilibrada, mas com inversão do sentido do desiquilíbrio -- a moeda falsa é a que foi transferida do prato mais pesado; FIM.
a balançar ficar equilibrada -- faço uma última pesagem no passo 9.
Passo 9 - escolho uma das duas moedas que não foram transferidas de prato e comparo o seu peso com qualquer das moedas de M_{I} ou M_{II}, que sei não ser falsa. Podem acontecer dois casos:
a balança ficar equilibrada -- a moeda falsa é a que não foi pesada; FIM.
a balança ficar desequilibrada -- a moeda falsa é a que está no prato mais pesado. FIM.
Os casos possíveis são então:

Passo 1, Passo 5: 2 pesagens
Passo 1, Passo 5, Passo 8: 3 pesagens
Passo 1, Passo 5, Passo 8, Passo 9: 4 pesagens
Passo 1, Passo 2, Passo 3, Passo 4: 4 pesagens
Por este método consegue-se isolar a moeda falsa em 4 pesagens no máximo.

NOTA: por abuso de linguagem digo prato mais leve e mais pesado querendo significar o prato com o conjunto de moedas menos ou mais pesado.

 
At 10:41, Blogger Américo Tavares disse...

Correcções (motivadas por um comentário de António Ferrão, no meu blog):
(...)
Passo 5 - das nove moedas de M_{III}, escolho seis e coloco três em cada prato. Se a balança ficar equilibrada é porque uma das três restantes é falsa.Se não, prossigo para o passo 8.
(...)
Os casos possíveis são então:

Passo 1, Passo 5, Passo 6: 3 pesagens
Passo 1, Passo 5: Passo 6, Passo 7: 4 pesagens
Passo 1, Passo 5, Passo 8: 3 pesagens
Passo 1, Passo 5, Passo 8, Passo 9: 4 pesagens
Passo 1, Passo 2, Passo 3, Passo 4: 4 pesagens
(...)

 

Enviar um comentário

<< Home


hits: