Número de ordem lexicográfica
Hoje lanço um desafio aos entusiastas da Matemática. Quem sabe, aparece alguém com a resposta certa? O seu enunciado é simples:
Determinar o número de arranjos que se podem formar com as seis letras da palavraxigubo que a antecedem na ordem lexicográfica, mas sem recorrer à lista exaustiva.
Etiquetas: permutações
7 Comentários:
Parece que isto não vai sem uma pequena ajuda. O segredo está nas inversões das letras...
olá.
5x5! + 2x4! ?
;)
tswari
Já estava quase desesperado...
Muito obrigado pela participação e mais ainda por acertar à primeira. Estarei de futuro com mais atenção ao seu blog.
Achei muito curiosa a forma da resposta dada por TsiWari. Confesso que não esperava tanta perfeição. Mas vale a pena determo-nos um pouco nela.
Por palavras, há cinco inversões do "x" com cada uma das cinco letras à sua direita. Cada inversão "pesa" cinco factorial, o que significa que antes do "x" poder saltar para esta posição, teve que esperar 5! vezes que passassem todas as permutações das restantes letras. Resultado: o primeiro termo, 5x5!
Acrescem duas permutações do "i", com as letras que alfabeticamente a prececedem, o "b" e o "g", pesando cada inversão o número de permutações de todas as letras à sua direita, 4!
Resultado: o segundo termo, 2*4!
Campos relacionados: o sistema de numeração factorial e os determinantes.
E depois de tudo dito, reparo que não foram contabilizadas as duas inversões da letra "u", respectivamente com "g" e com "o":
+2 * 2!
(meditações à volta de uma bifana) :)
Tambem falta um 3!
Eu disso das inversões tenho alguma dificuldade a apreender, mas suponho que tambem a usei, só que não lhe chamei nomes :p.
Eu só vi quantas primeiras letras diferentes passariam automáticamente a palavra acima de xigubo (neste caso eram todas, portanto 5). Como só fixamos 1 letra restam 5 "espaços" onde as letras podem estar em qualquer ordem, ou seja, 5! "palavras".
Aceitando X como primeira letra, quantas poderiam ser 2as seguindo a condição imposta. Há 2 (B e G), como só fixamos 2 letras há possibilidade de 4! "palavras começando com XB e 4! com XG.
Começando com XI só XIB seria acima de XIG alfabéticamente, reprensentando mais 3! "palavras" acima de xigubo.
Todas as "palavras" começadas por XIGB e XIGO seguem a regra imposta sendo mais 2x2! "palavras".
Como XIGUOB é abaixo alfabéticamente, a resposta completa será
5x5! + 2x4! + 3! + 2x2! = 658
Jocas ;)
Delphine
Na mouche
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