Fracções contínuas

Em vez dos números decimais...

Os números decimais não são mais do que um caso particular das fracções, com a restrição de tomar para denominador, apenas as potências de 10. Por exemplo, o número 1,234 tem como significado, uma fracção em que o numerador é o número 1234 e o denominador é o número 1000.
Vamos apresentar neste artigo, um algoritmo que produz uma sequência de fracções que se aproximam cada vez mais de um número qualquer, que é o dado inicial.
Essa sequência de fracções, representa a conversão do mesmo número em fracções contínuas, que é uma representação que se pode considerar equivalente a qualquer número decimal, mas que contém apenas números inteiros e sinais de fracção.
Vamos apresentar tudo isto na forma de um exemplo, com todos os detalhes para a sua construção.
Podemos tomar para exemplo o número 1,234 referido acima, a partir do qual construímos o quadro que se segue:

	A	B	C	D
1	1,234		1	0
2	4,(273504)	1	1	1

Na casa A1 colocámos o número inicial.
Nas casas C1 e D2 colocámos a unidade, e na D1 o zero, que são valores fixos que fazem parte do método. A casa B1 fica em branco.
Nas casas B2 e C2 coloca-se a parte inteira do número inicial, que neste caso também é 1.
Finalmente, na casa A2 ficou um número que resulta de dividir 1 por 0,234 que é a parte decimal do número inicial (o chamado inverso da parte decimal). O (parêntesis) significa que a parte decimal deste número se repete indefinidamente.
A seguir representamos a continuação da tabela, com as linhas numeradas a partir de 3:

	A	B	C	D
3	3,65625	4
4	1,(523809)	3
5	1,(90)	1
6	1,1	1
7	10	1
8		10

Na casa B3, pusemos outra vez a parte inteira do número que estava em A2.
Na casa A3, ficou outra vez o resultado da divisão de 1 pela parte decimal do número que estava em A2, tal como se tinha feito na linha 2.
Nas linhas seguintes repetiu-se sempre o mesmo procedimento, extraindo a parte inteira e invertendo a parte decimal, até que na linha 8 o processo terminou, neste caso porque se obteve em A7 um valor inteiro, sem parte decimal que se pudesse inverter.
Para continuar o processo, vamos repetir a seguir a tabela completa:

	A	B	C	D	E
1	1,234		1	0	1
2	4,(273504)	1	1	1	1,2
3	3,65625	4	5	4
4	1,(523809)	3	16	13	1,23
5	1,(90)	1	21	17
6	1,1	1	37	30
7	10	1	58	47
8		10	617	500	1,234

Nas colunas C e D, preenchemos os números que se obtêm a partir dos valores da coluna B, do seguinte modo:
O "5" em C3, resulta de multiplicar o número à esquerda pelo de cima, somando depois o número mais acima (4 x 1 + 1 = 5). O "4" em D3, obtem-se da mesma maneira, utilizando as colunas B e D: (4 x 1 + 0 = 4).
O resto das colunas C e D, obtem-se sempre da mesma maneira, até acabar de preencher o quadro.
Depois de feitas as contas, obtemos nas colunas C e D, precisamente os numeradores e os denominadores das fracções que aproximam cada vez melhor o número que foi dado inicialmente. O último resultado, é o 617/500, que é a fracção que é equivalente a 1234/1000, depois de simplificada.
Todas estas fracções são irredutíveis, isto é, não podem ser simplificadas e aproximam, alternadamente por excesso e por defeito, o valor inicial que foi dado.
Na coluna E, acrescentámos as aproximações ao resultado que são possíveis, utilizando os números decimais, com mais ou menos casas decimais.
Vemos que há 3 fracções que aproximam melhor do que 1,23 que são: 21/17, 37/30 e 58/47.
Há mais 2 fracções que aproximam melhor do que 1,2 (5/4 e 16/13).
E as aproximações representadas por 1 e 1,234 correspondem às fracções 1/1 e 617/500 com exactidão.
Para terminar, vamos dar significado aos números obtidos na coluna B, e que dão o nome ao método. Para isso, observemos a figura que encabeça este artigo.

A fracção contínua é uma fracção que se vai desenvolvendo pelos denominadores, da maneira indicada.
Se aproveitarmos apenas a primeira linha da figura, obtemos a primeira aproximação: 1 = 1/1.
Se aproveitarmos as duas primeiras linhas, obtemos a segunda aproximação: 1 + 1/4 = 5/4 e por aí adiante.
Fornecemos este artigo a título de divulgação, sem quaisquer preocupações acerca da demonstração; quem se interessar pela temática, deve procurar na literatura sob a designação de fracções contínuas (continued fractions em inglês).
Resolvemos fazer esta divulgação, por ser um assunto fascinante e que não se encontra contemplado no currículo básico de matemática, embora possa em nosso entender vir a constituir um instrumento de utilização corrente para quem se deixar embalar pela linguagem dos inteiros e das fracções, aplicadas à vida prática.
E sobretudo, com o objectivo de fazer uma modesta contribuição para combater o mito da impenetrabilidade da Matemática como disciplina obrigatória no ensino básico.

Fevereiro /06