Vamos achar o MDC!

Costuma-se utilizar o Máximo Divisor Comum (MDC) para simplificar fracções, ou então para adicionar fracções ou resolver determinados problemas na Matemática.

Segundo o método tradicional, que se aprende nesta disciplina há já muitos anos sem alteração, começa-se por decompor cada um dos números em produto de números primos, e em seguida multiplica-se todos os primos comuns que se encontrou, obtendo-se deste modo o MDC.

Este método envolve uma série de divisões, e necessita de uma tabela de números primos, resultando num processo muito trabalhoso, que frequentemente não se justifica confrontando o volume de trabalho com a magreza dos resultados alcançados.

Vamos começar por apresentar um método alternativo, de execução muito simples, procurando em seguida justificar o seu funcionamento.

O processo não envolve nenhuma divisão, e muito menos carece de uma tabela de números primos; de facto, resume-se a uma sequência repetitiva de operações de subtracção, embora se possa aceitar algumas operações de divisão para acelerar o processo.

A apresentação mais simples consiste em escrever os dois números, separados por um traço vertical; em seguida, compara-se os números, e em baixo do maior deles coloca-se a diferença entre os dois. Agora compara-se o último número que se escreveu, com o que ficou na outra coluna, repetindo-se o processo até que se obtenha igualdade entre os números nas duas colunas, que é o resultado procurado.

O exemplo seguinte ajudará a compreender a sequência:

15

24

15

24

15

24

15

24

15

24

9

6

9

6

9

6

9

3

3

3

Depois de substituir sistematicamente o número maior pela diferença, obtivemos o 3 nas duas colunas, terminando o processo com o resultado MDC (15, 24) = 3.

O leitor poderá experimentar o método com outros exemplos, nomeadamente presentes na actividade académica, para ganhar mais segurança, e comparar a carga de trabalho contra o método dos números primos.

Para melhor compreender o funcionamento do método, basta recorrer a um raciocínio muito simples. Com efeito, se observarmos com atenção a tabuada da multiplicação de um número qualquer, podemos ver que a diferença entre dois produtos é sempre um produto que figura na mesma tabuada, o que não é difícil de aceitar. Portanto, se dois números forem múltiplos de um terceiro, então a sua diferença também é, o que nos permite substituir o maior deles por essa diferença, para efeitos de cálculo do MDC; e tudo isso tantas vezes quantas forem necessárias, até que se chegue a um ponto em que os dois números se identificam no mesmo, o que nos remete para a questão mais simples: qual é o MDC de dois números iguais? – que é precisamente a situação a que se chegou no nosso método.

O menor múltiplo comum (mmc) pode-se obter directamente do MDC, usando a relação MDC x mmc = a x b, ou seja, o produto dos números é igual ao produto do seu MDC pelo mmc. No nosso exemplo, dá mmc (15, 24) = 15 x (24 / 3) = 120. A justificação fica fora do âmbito deste artigo, guardando-se para outra ocasião.

Como nota final, observamos que este processo é essencialmente repetitivo, o que proporciona a vantagem adicional de ser extremamente fácil de automatizar, seja numa linguagem de programação, numa folha de cálculo ou numa simples máquina de calcular.

Professor José Ferrão – Janeiro de 2006.

1 Comentário

  1. Andrea says:

    eu aprendo muito

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